高中数学专题18 函数的应用（1）解析版

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专题 18 函数的应用（1）

知识梳理

一：函数的零点

1.函数的零点

（1）一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.

要点诠释：

① 函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；

② 函数的零点也就是函数

y=f(x)

的图象与

轴交点的横坐标；

③ 函数

y=f(x)

的零点就是方程

f(x)=0

的实数根．

④ 零点都是指变号零点（函数图象通过零点时穿过 x轴，则称这样的零点为变号零点）．

归纳：方程

f(x)=0

有实数根

⇔

函数

y=f(x)

的图象与

轴有交点

⇔

函数

y=f(x)

有零点．

（2）二次函数的零点

二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表.

判别式方程的根函数的零点

Δ>0

两个不相等的实根两个零点

两个相等的实根一个二重零点

无实根无零点

（3）二次函数零点的性质

① 二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.

② 相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.

引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.

2．函数零点的判定

（1）利用函数零点存在性的判定定理

如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即

，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使

这个也就是方程的根.

要点诠释：

① 满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一

个；若不单调，则个数不确定．

② 若函数在区间上有，在内也可能有零点，例如在

上，在区间上就是这样的．故在内有零点，不一定有

．

③ 若函数在区间上的图象不是连续不断的曲线，在内也可能是有零点，例如

函数在上就是这样的．

（2）利用方程求解法

求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实

根则函数有零点．

（3）利用数形结合法

函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与

的图象交点的横坐标．

二：一元二次方程根的分布与方程系数的关系

（1）设 x1、x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a＞0）的两实根，则 x1、x2的分布范围与一元二次方程的

系数之间的关系是：

①当x1＜x2＜k时，有；

②当k＜x1＜x2时，有；

③当x1＜k＜x2时，；

④当x1，x2∈（k1，k2）时，有；

⑤当x1、x2有且仅有一个在（k1，k2）时，有．

要点诠释：

讨论二次函数的根在区间的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；

③对称轴与区间的相对位置．当 k=0 时，也就是一元二次方程根的零分布．

（2）所谓一元二次方程根的零分布，是指方程的根相对于零的关系．比如一元二次方程有一正根，

有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说这两个根分布在零的两侧．

设一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实根为 x1，x2，且 x1≤x2．

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