高中数学专题17 函数的基本性质（3）原卷版
专题 17 函数的基本性质（3）
（函数的最值）
知识梳理
一、函数的值域
1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；
2、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；
3、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙
述；
4、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；
5、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结；
二、函数的最值
1、设函数 定义域为 ，则当 时总有 ，则称当 时 取最大
值 ；当 时总有 ，则称当 时 取最小值 ；
2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题；
3、闭区间的连续函数必有最值。
三、函数的值域的求法
1．直接观察
2．配方
3．基本不等式/耐克函数
4．判别式法
5．分离常数法/部分分式法
1
6．换元
7．数形结合
8．单调性
9．奇偶性(*)
例题解析
一、特殊方法
1．直接观察
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
【例 1】求函数 的值域；
【例 2】求函数 的值域
2．配方法
主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题．
对于求二次函数 或可转化为形如 的函数的
值域（最值）一类问题，我们常常可以通过配方法来进行求解；
【例 3】求函数 的值域；
2
【例 4】求二次函数 的值域；
【例 5】求
f(x)=x4+6x2−5, x ∈
[
−1,2
]
的最大值
【例 6】设
x2+4y2+8x+7=0
，求
x2+y2
的最值
【例 7】求函数
f(x)= 2
x2−2x−3
的值域
3
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