高中数学专题16 函数的基本性质（2）解析版

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专题 16 函数的基本性质（2）
（函数的单调性）
知识梳理
1.函数单调性的定义
对于函数
f(x)
的定义域 D内某个区间上的任意两个自变量的值
x1, x2
，⑴若当
x1
<
x2
时，都有
f(x1)
<
f(x2)
,则说
f(x)
在这个区间上是增函数，对应的这个区间叫做函数的递增区间；⑵若当
<
x2
时，都有
f(x1)
>
f(x2)
,则说
f(x)
在这个区间上是减函数，对应的这个区间叫做函数的递减区间。
注：①函数的单调区间是函数定义域的子集，在讨论函数的单调性的基础上不要忽略函数定义域的要求；
② 一个函数有多个单调递增或递减区间时不能用“ ”连接；如 的单调递减区间时 和
而不能写成 。
2.单调性证明四部曲
① 任取
x1
,
x2
属于定义域，且令
x1
<
x2
；②作差
f(x1)
－
f(x2)
并变形，一般情况下是变形为几个式子
乘积的形式； ③判断
f(x1)
－
f(x2)
的符号；④得出结论.
3.复合函数的单调性：同增异减
注：在解决复合函数单调性问题时不可忽略函数的定义域要求。
4.单调性与奇偶性之间的关系
奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反。
5.单调性的其它等价形式
1
① 对于任意的 ，都有 ，表示 单调递增；
对于任意的 ，都有 ，表示 单调递减.
② 对于任意的 ，都有 ，表示 单调递增；
对于任意的 ，都有 ，表示 单调递减.
③ 若 是奇函数，且对定义域内的任意 （ ）都有
恒成立，则 在定义域内递增；
恒成立，则 在定义域内递减.
例题解析
一、单调性的概念及简单基本函数的单调性
【例 1】设
f(x)
是定义在
R
上的函数．
① 若存在
x1, x2∈R
，当
x1<x2
时、有
f(x1)<f(x2)
成立，则函数
f(x)
在
R
上单调递增；
② 若存在
x1, x2∈R
，当
21
xx
时，有
f(x1)≤f(x2)
成立，则函数
)(xf
在
R
上不可能单调递
减；
③ 若存在
x2>0
，对于任意
x1∈R
，都有
f(x1)<f(x1+x2)
成立，则函数
)(xf
在
R
上
2
单调递增；
④ 任意
Rxx
21
,
，当
21
xx
时，都有
f(x1)≥f(x2)
成立，则函数
)(xf
在
R
上单调递减．
以上命题正确的序号是（ ）
（A）①③ （B）②③ （C）②④ （D）②
【难度】★★
【答案】D
【例 2】判断命题：
（1）已知
f
(
x
)
=|2x+1|+|2−x|
均为
f
(
x
)
=|2x+1|+|2−x|
上的单调递增函数，则
f
(
x
)
=|2x+1|+|2−x|
是
f
(
x
)
=|2x+1|+|2−x|
上单调递增函数；
（2）已知
f
(
x
)
=|2x+1|+|2−x|
的定义域为
f
(
x
)
=|2x+1|+|2−x|
，
f
(
x
)
=|2x+1|+|2−x|
，
f
(
x
)
=|2x+1|+|2−x|
为
f
(
x
)
=|2x+1|+|2−x|
上的增函数。
（3）已知
f
(
x
)
=|2x+1|+|2−x|
的定义域为
f
(
x
)
=|2x+1|+|2−x|
，
f
(
x
)
=|2x+1|+|2−x|
在
f
(
x
)
=|2x+1|+|2−x|
上单调递增，则
f
(
x
)
=|2x+1|+|2−x|
在
f
(
x
)
=|2x+1|+|2−x|
上单调递增。
（4）偶函数一定不是单调函数。
【难度】★★
【答案】（1）错（2）错（3）错（4）对
【例 3】定义在 R上的函数 f(x)的图像过点 M（－6，2）和 N（2，－6），且对任意正实数 k，有 f(x+k)< f(x)
成立，则当不等式| f(x-t)+2|<4 的解集为(－4,4)时，实数 t的值为 .
【难度】★★
【答案】2
【例 4】写出下列函数对应的单调区间
3
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