高中数学专题15 函数的基本性质（1）(解析版）

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专题 15 函数的基本性质（1）
（函数的奇偶性）
知识梳理
一、函数奇偶性的证明（判断）
1、函数奇偶性的定义
偶函数：如果对于函数 定义域 内的任意实数 ，都有 ，那么就把函数
叫做偶函数．　
奇 函 数 ： 如 果 对 于 函 数 定 义 域 内 的 任 意 实 数 ， 都 有 ， 那 么 就 把 函 数
叫做奇函数．
2、证明（判断）函数奇偶性的一般步骤
验证函数 的定义域是否关于原点对称？否！函数是非奇非偶函数．是！继续考查
1
成立与否？ 成立， 是奇函数； ， 是偶函数；
都成立， 是即奇又偶函数； 都不成立， 是非奇非偶函数．
二、函数奇偶性的应用
关于函数奇偶性的几个重要结论
（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（函数具有奇偶性的必要不充分条件）．
（2）函数 是奇函数 曲线 关于原点对称；函数 是偶函数 曲线 关于
轴对称．
（3）若 的定义域关于原点对称，则 是偶函数， 是奇函
数．
（4）若函数 的定义域关于原点对称，则 可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和．
其 中 ， 为 偶 函 数 ，
为奇函数．
（5） 、 是定义域为 、 的奇函数，那么在 上， 是奇函数，
是偶函数．类似的有：“奇±奇＝奇”，“奇×奇＝偶”，“偶±偶＝偶”，“偶×偶＝偶”，
“奇×偶＝偶”．
（6） 既是奇函数又是偶函数 （定义域关于原点对称）．
2
（7）若奇函数
y=f(x)
在
x=0
处有定义，则
f(0)=0
．
（8）对于多项式函数
若 是奇函数 偶次项的系数全为零；
若 是偶函数 奇次项的系数全为零．
例题解析
一、函数奇偶性的证明（判断）
【例 1】判断下列函数是否具有奇偶性：
（1） ；（2） ；（3） ；（4）
f(x)=0
．
【难度】★
【答案】（1）∵ ，即 ，∴函数
是奇函数；
（2）∵ ，即 ，∴函数 是偶函数；
（3）∵ ∴ ，∴函数 既不是奇函数，
也不是偶函数，称为非奇非偶函数．
（4）∵
f(x)=±f(−x)=0
，∴函数
f(x)=0
为既奇又偶函数
【例 2】判断下列函数的奇偶性：
（1） ；（2） ；
3
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