高中数学专题13 对数函数（解析版）

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专题 13 对数函数

(对数函数的定义与图像，对数函数的性质）

知识梳理

一、对数函数

1、对数函数定义：

函数叫做对数函数。对数函数与指数函数

互为反函数。

2、性质：

（1）对数函数的图像都在 y轴的右方；

（2）对数函数的图像经过点（1,0）；

（3）对数函数 ,当x>1 时，y>0；当 0<x<1 时， y<0；

对数函数 ,当x>1 时，y<0；当 0<x<1 时， y>0；

（4）对数函数在（0，+∞）上是增函数，对数函数

在（0，+∞）上是减函数。

（5）对数函数图像在第一象限的规律是：

以直线 x=1 把第一象限分成两个区域，每个区域里对数函数底数都是由左向右逐渐增大，如右图所

示，C1，C2，C3，C4对应，，，，则

0<a4<a3<1<a2<a1。

3、复合函数的单调性

在复合函数中，如果和的增减性相异，则为减函数，如

果的增减性相同，则为增函数。

例题解析

一、对数函数的概念与简单运用

【例 1】求下列函数的定义域

（1）（2）

【难度】★★

【答案】解：（1）且且

（2）

【例 2】已知函数 f(x)的定义域是[0，1]，求函数的定义域。

【难度】★★

【答案】解：由得 ,

由于为定义域上的减函数，故得：

1/2≤x-3≤1 7/2≤x≤4∴。

∴所求函数的定义域为[7/2，4]。

注意：已知 y=f(x)定义域[a,b]，求 y=f[g(x)]定义域，只需 a≤g(x) ≤b,解x的取值范围即可。

【例 3】若

loga

3>1

，则 a的取值范围是（）

A．

1<a<3

B．

0<a<1或1<a<3

C．

3<a<1

D．

0<a<2

3a或>1

【难度】★★

【答案】D

【例 4】函数

y=f(2x)

的定义域为[1，2]，则函数

y=f(log2x)

的定义域为（）

A．[0，1] B．[1，2] C．[2，4] D．[4，16]

【难度】★★

【答案】D

【例 5】已知函数的定义域为 R，求实数 a的取值范围。

【难度】★★

【答案】解：依题意，恒成立。

（1）当 a=0 时，不等式 1>0 恒成立。

（2）当 a≠0 时，有得：0<a<4。

综合（1）、（2），得 a [0,4).∈

注意：勿忘讨论二次项系数为零这一情况。

【例 6】函数

（1）若其定义域包含一切负实数，求实数 a的取值范围

（2）当时，求 y=f(x)的反函数

【难度】★★

【答案】解：（1）不等式，所以即可

（2）当时，，所以

当时，，所以

【巩固训练】

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