高中数学专题12 指数函数（解析版）

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专题 12 指数函数
（指数函数的定义与图像，指数函数的性质）
知识梳理
1.根式的运算性质：(1)当n为任意正整数时，(
na
)
n
=ahp://www.xjktyg.com/wxc/
(2)当n为奇数时，
n
√
an
=a；当 n为偶数时，
n
√
an
=|a|=
{
a(a≥0)¿¿¿¿
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wxckt@12 6.com
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(3)根式的基本性质：
np
√
amp=n
√
am
，（a
¿
0）
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2.分数指数幂的运算性质：
am
⋅an=am+n(m ,n ∈Q)
(am)n=amn(m , n∈Q)
(ab )n=an
⋅bn(n∈Q)
3.指数函数
函数名称 指数函数
定义 函数
( 0
x
y a a 
且
1)a
叫做指数函数
图
象
1a
0 1a 
定义域
R
值域
(0, )
过定点 图象过定点
(0,1)
，即当
0x
时，
1y
．
单调性 在
R
上是增函数 在
R
上是减函数
1
a
变化对图
象的影响
在第一象限内，
a
越大图象越高；在第二象限内，
a
越大图象越低．
热身练习
1、
√
a⋅3
√
a⋅
√
a
的分数指数幂表示为
【难度】★
【答案】
a
3
4
2、函数
y=2|x|
的值域是
【难度】★★
【答案】
[1,+∞ )
3、函数 的图像必经 过点
【难度】★★
【答案】
(2,2)
4、下列函数中值域是
R+
的是（ ）
A、 B、 C、 D、
【难度】★★
【答案】B
5、已知函数 满足 ，且 ，比较 与 的大小关系
【难度】★★★
【答案】∵ ，∴函数 的对称轴是 ．故 ，又 ，∴ ．
∴函数 在 上递减，在 上递增．若 ，则 ，∴ ；
若 ，则 ，∴ ．综上可得 ，即 ．
例题解析
考点一、指数函数的概念和性质
【例 1】在下列函数中，是指数函数的有_________________
2
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦
【难度】★【答案】①⑥
【例 2】函数 是指数函数，求 的值
【难度】★★【答案】2
【例 3】函数 的定义域是
【难度】★★【答案】
【例 4】函数
f
(
x
)
=
(
a−1
a
)
x
在
x∈
(
−∞,+∞
)
上是减函数，求
a
的取值范围
【难度】★★【答案】
【巩固训练】
1．指出下列函数哪些是指数函数？
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；
（5） ；（6） ．
【难度】★【答案】（1）（5）（6）
2．作出函数 与 的图像．
【难度】★★【答案】
3．已知 x>0, 函数 的值恒大于 1，则实数 的取值范围是_____________
3
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