高中数学专题11 幂函数（原卷版）

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Ⅴ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅷ
ⅥⅦ
O
Ⅳ
Ⅰ
x
y
1y
1x
y x
1
y x
专题 11 幂函数
（幂函数的定义与图像，幂函数的性质）
知识梳理
一、幂函数
1、幂的有关概念：
正整数指数幂：
零指数幂：
负整数指数幂：
分数指数幂：
2、幂函数的定义：
幂函数
1
形如 的函数叫幂函数。
注意：幂函数的底数是变量 x，系数是 1，高中阶段指数取有理数 。
3、幂函数的图象.
根据幂函数的定义域,先作出其在第一象限的图象,再由其奇偶性作出其他象限的图形,具
体见下图,的图象.
其中 互质.
4、幂函数的性质
所有的幂函数在（0， ）都有定义，并且函数图像都通过点（1，1）
¿
k>0 时：（图 A）
（1）图象都通过（0，0），（1，1）；
2
（2）在第一象限内，函数值随 x的增大而增大（增函数）。
¿
k<0 时；（图 B）
（1）图象都通过点（1，1）（2）在第一象限内，函数值随 x的增大而减小（减函数）
（3）在第一象限内，图象向上与 y轴无限地接近，向右与 x轴无限地接近。
¿
设幂函数 的指数 ，其中 p、q 互素
当 p 是偶数时， 的定义域关于原点不对称，故它是非奇非偶函数；
当 p 是奇数时，如果 q 是偶数，那么 是偶函数；如果 q 是奇数，那么 是奇
函数
当 时，幂函数的单调区间是整个定义域，或是将定义域分为两个单调区间.具体情
况可由上述图像直观得到
热身练习
1、下列命题中正确的是（）
A 当 m=0 时，函数 的图像是一条直线 B 幂函数的图像都经过（0,0），（1,
1）两点
3
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