高中数学专题10简单几何体的表面积与体积（知识精讲）（原卷版）2020-2021学年高一数学同步讲练测（人教A版2019必修第二册）

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2020-2021 数学第二册讲练测（人教 A版2019 必修第二册）
专题 10 简单几何体的表面积与体积
本节知识点与题型快速预览
知识点课前预习与精讲精析
核心知识点 1：多面体的表面积
1．柱体的表面积
(1)侧面展开图：棱柱的侧面展开图是平行四边形，一边是棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长，如图
①所示；圆柱的侧面展开图是矩形，其中一边是圆柱的母线，另一边等于圆柱的底面周长，如图②所示．
1
(2)面积：柱体的表面积 S表＝S侧＋2S底．特别地，圆柱的底面半径为 r，母线长为 l，则圆柱的侧面积 S侧＝
2πrl，表面积 S表＝2πr(r＋l)．
【知识微点评】
表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小，常把多面体展开成平面图形，利用平面图形求多
面体的表面积，侧面积是指侧面的面积，与表面积不同．一般地，表面积＝侧面积＋底面积．
2．锥体的表面积
(1)侧面展开图：棱锥的侧面展开图是由若干个三角形拼成的，则侧面积为各个三角形面积的和，如图①所
示；圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长，如图②所示．
(2)面积：锥体的表面积 S表＝S侧＋S底．特别地，圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，则圆锥的侧面积 S侧＝
πrl，表面积 S表＝πr(l＋r)．
3．台体的表面积
(1)侧面展开图：棱台的侧面展开图是由若干个梯形拼接而成的，则侧面积为各个梯形面积的和，如图①所
示；圆台的侧面展开图是扇环，其侧面积可由大扇形的面积减去小扇形的面积而得到，如图②所示．
(2)面积：台体的表面积 S表＝S侧＋S上底＋S下底．特别地，圆台的上、下底面半径分别为 r′、r，母线长为
l，则侧面积 S侧＝π(r＋r′)l，表面积 S表＝π(r2＋r′2＋rl＋r
′
l)．
核心知识点 2：多面体的体积
1．柱体的体积
(1)棱柱(圆柱)的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这个点与垂足(垂
2
线与底面的交点)之间的距离．
(2)柱体的底面积 S，高为 h，其体积 V＝Sh.特别地，圆柱的底面半径为 r，高为 h，其体积 V＝πr2h．
2．锥体的体积
(1)棱锥(圆锥)的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．
(2)锥体的底面积为 S，高为 h，其体积 V＝Sh.特别地，圆锥的底面半径为 r，高为 h，其体积 V＝πr2h．
3．台体的体积
(1)圆台(棱台)的高是指两个底面之间的距离．
(2)台体的上、下底面面积分别是 S′、S，高为 h，其体积 V＝(S＋＋S′)h.特别地，圆台的上、下底面半径
分别为 r、r′，高为 h，其体积 V＝π(r2＋rr′＋r′2)h．
核心知识点 3：球的表面积和体积
1．球的体积
球的半径为 R，那么它的体积 V＝ πR3．
2．球的表面积
球的半径为 R，那么它的表面积 S＝ 4πR2．
3．与球有关的组合体问题
(1)若一个长方体内接于一个半径为 R的球，则 2R＝(a、b、c分别为长方体的长、宽、高)，若正方体内接
于球，则 2R＝a(a为正方体的棱长)；
(2)半径为 R的球内切于棱长为 a的正方体的每个面，则 2R＝a．
【知识微点评】
对球的表面积与体积公式的几点认识：
(1)从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定 R都有惟一确定的 S和V与之对应，故
表面积和体积是关于 R的函数．
(2)由于球的表面不能展开成平面，所以，球的表面积公式的推导与前面所学的多面体与旋转体的表面积公
式的推导方法是不一样的．
(3)球的表面积恰好是球的大圆(过球心的平面截球面所得的圆)面积的 4倍．
1．已知正方体外接球的体积是
32
3
π
，那么该正方体的内切球的表面积为　　．
2．已知正三棱柱 ABC﹣A1B1C1的高为 6，AB＝4，点 D为棱 BB1的中点，则四棱锥 C﹣A1ABD 的表面积是
，正三棱柱的体积为　　．
3
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