高中数学专题10 对数解析版

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专题 10 对数

（对数的定义，对数的运算性质，对数的换底）

知识梳理

一、对数概念

1.对数的概念

如果，那么数 b叫做以 a为底 N的对数，记作:logaN=b.其中 a叫做对数的底

数，N叫做真数.

要点诠释：

对数式 logaN=b 中各字母的取值范围是：a>0 且a1， N>0， bR.

2.对数具有下列性质：

(1)0 和负数没有对数，即；

(2)1 的对数为 0，即；

(3)底的对数等于 1，即 .

3．两种特殊的对数

通常将以 10 为底的对数叫做常用对数，

log10 N简记作 lg N

.以e（e是一个无理数，

）为底的对数叫做自然对数， .

4．对数式与指数式的关系

由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化 .它们的关系

可由下图表示.

由此可见 a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.

二、对数的运算法则

已知

(1) 正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；

推广：

(2) 两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；

(3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；

要点诠释：

（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才

能成立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然 log2(-3)(-5)是存在的，但 log2(-3)与log2(-5)是

不存在的.

（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错

误的：

loga(MN)=logaMlogaN，

loga(M·N)=logaM·logaN，

loga

N=logaM

logaN

三、对数公式

1．对数恒等式：

2．换底公式

同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在 a>0， a≠1， M>0 的前提下有:

(1)

logaM=loganMn(n∈R)

令 logaM=b，则有 ab=M， (ab)n=Mn，即

(an)b=Mn

，即

b=loganMn

，即:

logaM=loganMn

(2)

logaM=logcM

logca(c>0, c≠1)

，令 logaM=b ，则有 ab=M ，则有

logcab=logcM(c>0, c≠1)

即

b⋅logca=logcM

，即

b=logcM

logca

，即

logaM=logcM

logca(c>0, c≠1)

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