高中数学专题09 幂与指数（指数幂的拓展）解析版

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专题 09 幂与指数（指数幂的拓展）
知识梳理
一、整数指数幂的概念及运算性质
1．整数指数幂的概念
an=a⋅a⋅⋯⋅a
⏟
n a个
(
n∈Z¿
)
a0=1
(
a≠0
)
a−n=1
an(a≠0, n∈Z* )
2．运算法则
（1）
am
⋅an=am+n
；
（2）
(
am
)
n=amn
；
（3）
am
an=am−n
(
m>n，a≠0
)
；
（4）
(
ab
)
m=ambm
.
二、根式的概念和运算法则
1．n 次方根的定义：
1
若 xn=y(n∈N*，n>1，y∈R)，则 x 称为 y 的 n 次方根.
n 为奇数时，正数 y 的奇次方根有一个，是正数，记为
n
√
y
；负数 y 的奇次方根有一个，
是负数，记为
n
√
y
；零的奇次方根为零，记为
；
n 为偶数时，正数 y 的偶次方根有两个，记为 ；负数没有偶次方根；零的偶次方根
为零，记为 .
2．两个等式
（1）当 且 时， ；
（2）
n
√
an=¿
{
a ,(n为奇数 )¿ ¿¿¿
要点诠释：
① 要注意上述等式在形式上的联系与区别；
② 计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必
为非负数，可先写成 的形式，这样能避免出现错误．
三、分数指数幂的概念和运算法则
为避免讨论，我们约定 a>0，n，m N*，且 为既约分数，分数指数幂可如下定义：
四、有理数指数幂的运算
1．有理数指数幂的运算性质
(
a>0，b>0，α , β ∈Q
)
(1)
2
(2)
(3)
当 a>0，p 为无理数时，ap是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用.
要点诠释：
(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；
(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.
如
4
√
(−4)2≠( 4
√
−4)2
；
(3)幂指数不能随便约分.如
(−4)
2
4≠(−4)
1
2
.
2.指数幂的一般运算步骤
有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负
数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽
可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：
a
2－
b
2＝（
a
－
b
）（
a
＋
b
），（
a
±
b
）2＝
a
2±2
ab
＋
b
2，（
a
±
b
）3＝
a
3±3
a
2
b
＋3
ab
2±
b
3，
a
3－
b
3＝（
a
－
b
）（
a
2＋
ab
＋
b
2），
a
3＋
b
3＝（
a
＋
b
）（
a
2－
ab
＋
b
2）的运用，能够简化运算.
例题解析
一、根式
例 1.计算：（1） ；
（2） .
【答案】
【解析】对于（1）需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求
解.对于（2），则应分子、分母同乘以分母的有理化因式.
（1）
= + -
3
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