高中数学专题08 指数与指数函数（重难点突破）解析版2020年秋季高一上精品讲义（新教材人教A版）

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专题 08 指数与指数函数（重难点突破）

一、知识结构思维导图

二、学法指导与考点梳理

重难点一根式

(1)概念：式子叫做根式，其中 n叫做根指数，a叫做被开方数.

(2)性质：()n＝a(a使有意义)；当 n为奇数时，＝a，当 n为偶数时，＝|a|＝

重难点二分数指数幂

(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是 a＝(a>0，m，n∈N*，且 n>1)；正数的负分数指

数幂的意义是 a－＝(a>0，m，n∈N*，且 n>1)；0的正分数指数幂等于 0；0的负分数指数

幂没有意义.

(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中 a>0，b>0，r，s∈Q.

重难点三指数函数及其性质

(1)概念：函数 y＝ax(a>0 且a≠1)叫做指数函数，其中指数 x是自变量，函数的定义域是

R，a是底数.

(2)指数函数的图象与性质

a>1 0<a<1

图象

定义域 R

值域 (0，＋∞)

性质

过定点(0，1)，即 x＝0时，y＝1

当x>0 时，y>1；

当x<0 时，0<y<1

当x<0 时，y>1；

当x>0 时，0<y<1

在(－∞，＋∞)上是增函

数

在(－∞，＋∞)上是减函数

三、重难点题型突破

重难点突破 1 指数与指数运算

√

a)n=a

；

√

an=|a|=

{

a , a≥0

−a.a<0

3.正分数指数幂：规定：a＝(a>0，m，n∈N*，且 n>1)

4.负分数指数幂：规定：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且 n>1)

5.幂的运算性质

(1)aras＝a r

＋

(a>0，r，s∈R)．

(2)(ar)s＝a rs

(a>0，r，s∈R)．

(3)(ab)r＝a r

b r

(a>0，b>0，r∈R)．

例1．（1）（2019·浙江高三会考）计算 ( )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】 .

（2）．（2020·上海高三专题练习）若10x=3,10y=4,则10x-y=__________．

【答案】

【解析】因为，所以，应填答案．

（3）．（浙江省杭州市学军中学高一上期中）若

2 2 5

x x

 

，则

8 8

x x

 

___ ___.

【答案】110

【解析】

【变式训练】．计算：

（1）

1 1

0.25 4 2

2 16

 

   

    

   

   

；

（2）

2 2

0.5

3 3

27 49 2

( ) ( ) (0.008)

8 9 25

 

  

【答案】（1）；（2）－4.

【解析】（1）原式= = = .

（2）原式

12 4 2 4 4

 

  

 

 

      

=-4

重难点突破 2 指数函数的图像与性质

例2．求下列函数的定义域和值域：

(1)y＝；(2)y＝x2－2x－3；(3)y＝4x＋2x＋1＋2.

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