高中数学专题08 直线与圆的位置关系（解析版）2019-2020学年高一数学下学期期末必考题型归纳及过关测试(苏教版)

3.0 envi 2025-04-10 4 4 272.99KB 15 页 3知币
侵权投诉
专题 08 直线与圆的位置关系
2020 年江苏高一期末考点预测
1．直线与圆的位置关系的判定方法
(1)代数法：直线与圆的方程联立消去 y(或x)得到关于 x(或y)的一元二次方程，此方程的判别式为 Δ则：
直线与圆相交⇔Δ>0；
直线与圆相切⇔Δ＝0；
直线与圆相离⇔Δ<0．
(2)几何法：设圆的半径为 r，圆心到直线的距离为 d，则：
直线与圆相交⇔d<r；
直线与圆相切⇔d＝r；
直线与圆相离⇔d>r．
2. 过圆 x2＋y2＝r2上一点 P(x0，y0)的切线方程为 x0x＋y0y＝r2；
过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点 P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.　
3.求弦长的方法有以下两种：r表示圆的半径，d表示圆心到直线的距离
(1)几何法：圆弦长 l＝2.
(2)代数法： 圆弦长
l＝|x1－x2|＝
其中 x1，x2为交点的横坐标，k为已知直线斜率．[来源:Z,xx,k.Com]
例1. 在平面直角坐标系 xOy 中，过点 M(1,0)的直线 l与圆 x2＋y2＝5交于 A，B两点，其中点 A在第一象限，
且
⃗
BM =2
⃗
MA
，则直线 l的 方程为__________．
【解析】法一：易知直线 l的斜率存在，设 l：y＝k(x－1)．由
⃗
BM =2
⃗
MA
，可设 BM＝2t，MA＝t，如图 ，
过原点 O作OH⊥l于点 H，则 BH＝.设OH＝d，在 Rt△OBH 中，d2＋
¿
＝r2＝5，在 Rt△OMH 中，d2＋
¿
＝
OM2＝1，解得 d2＝.
所以 d2＝＝，解得 k＝1或k＝－1，因为点 A在第一象限，
⃗
BM =2
⃗
MA
，由图知 k＝1，所以直线 l的
1
方程为 y＝x－1，即 x－y－1＝0.
法二：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以
⃗
MA
＝(x1－1，y1)，
⃗
BM
＝(1－x2，－y2)．
因为
⃗
BM =2
⃗
MA
，
所以
又x＋y＝5，所以(2x1－3)2＋4y＝5，与
x1
2+y1
2=5
联立
解得 x1＝2，代入可得 y1＝±1，
又点 A在第一象限，故 A(2,1)，
所以直线 l的方程为 y＝x－1，即 x－y－1＝0.
例2. 已知圆
，两个定点
A
(
a , 2
)
，
B
(
m, 1
)
，其中
a∈R
，
m>0
．
P
为圆
O
上任意一点，且
PA
PB =k
（
k
为常数) ．
（1）求常数
k
的值；
（2）过点
E
(
a , t
)
作直线
l
与圆
C:x2+y2=m
交于
M , N
两点，若
M
点恰好是线段
NE
的中点，求实数
t
的
取值范围．
【解析】（1）设点
P
(
x, y
)
，
x2+y2=4
，
PA=
√
(
x−a
)
2+
(
y−2
)
2
，
PB=
√
(
x−m
)
2+
(
y−1
)
2
，
因为
PA
PB =k
，所以
(
x−a
)
2+
(
y−2
)
2=k2
[
(
x−m
)
2+
(
y−1
)
2
]
，化简得
2ax +4y−a2−8=k2
(
2mx+2y−m2−5
)
，因为
P
为圆
O
上任意一点，所以
{
¿2a=2mk2
¿4=2k2
¿a2+8=k2
(
m2+5
)
，又
m>0, k >0
，解得
{
¿k=
√
2
¿a=2
¿m=1
，所以常数
k=
√
2
．
2
（2）设
M
(
x0, y0
)
，
M
是线段
NE
的中点，
N
(
2x0−2,2 y0−t
)
，又
M , N
在圆 C上，即关于
x , y
的方程
组
{
¿x0
2+y0
2=1
¿
(
2x0−2
)
2+
(
2y0−t
)
2=1
有解， 化简得
{
¿x0
2+y0
2=1
¿8x0+4t y0−t2−7=0
有解，即直线
n:8 x+4ty−t2−7=0
与圆
C:x2+y2=1
有交点，则
d=
|
t2+7
|
√
64+16 t2≤1
，化简得：
t4−2t2−15 ≤0
，解得
t∈
[
−
√
5,
√
5
]
．
学业水平测试
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．）
1. 已知圆
C:x2+y2=4
，直线
l:y−1=k(x+1)
，则直线
l
与圆
C
的位置关系（ ）
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 以上皆有可能
【答案】C
【解析】直线
l
方程可整理为：
kx −y+k+1=0
由圆
C
方程可知，圆心：
(
0,0
)
；半径：
r=2
∴
圆心到直线
l
的距离：
d=
|
k+1
|
√
k2+1
=
√
k2+2k+1
k2+1=
√
1+2k
k2+1
若
k ≤ 0
，则
d ≤1<r
，此时直线与圆相交
若
k>0
，则
d=
√
1+2k
k2+1=
√
1+2
k+1
k
又
k+1
k≥2
（当且仅当
k=1
时取等号）
∴1+2
k+1
k
≤2
则
d ≤
√
2<r
，此时直线与圆相交,综上所述：直线与圆相交,选
C
.
2．已知过点 的直线 l与圆 相切，则直线 l的斜率为（ ）
3
高中数学专题08 直线与圆的位置关系（解析版）2019-2020学年高一数学下学期期末必考题型归纳及过关测试(苏教版).docx

共15页,预览5页

还剩页未读， 继续阅读

相关推荐

更多
立即下载
作者：envi 分类：高中 价格：3知币 属性：15 页 大小：272.99KB 格式：DOCX 时间：2025-04-10

开通VIP享超值会员特权

  • 多端同步记录
  • 高速下载文档
  • 免费文档工具
  • 分享文档赚钱
  • 每日登录抽奖
  • 优质衍生服务

作者详情

相关内容

更多

推荐作者

热门标签

大联考 高考地理 英语真题 听力 语法填空 石家庄 数学竞赛 读后续写 英语阅读 深圳中学
/ 15
评分 收藏
分享
立即下载
客服
关注