高中数学专题08 直线与平面垂直的性质定理和判定定理（解析版）2020-2021学年高一数学下学期同步讲义（人教A版2019必修第二册）

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专题 08 直线与平面垂直的性质定理和判定定理

一、基础知识讲解

（一）直线和平面垂直的定义与判定

1.直线和平面垂直定义

　　如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作 .直线

叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足.

要点诠释：

(1)定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同，注

意区别；

(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式；

(3)若，则 .

2.直线和平面垂直的判定定理

判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．

符号语言：

特征：线线垂直线面垂直

要点诠释：

(1)判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视；

(2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂

直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要.

（二）斜线、射影、直线与平面所成的角

　　一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线.过斜线上斜足外的

一点间平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.平面的一条斜线和它在平面上的

射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.

要点诠释：

(1)直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线；

(2)直线与平面垂直射影是点；

(3)斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上；

(4)一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是 0°的

角.

（三）平面与平面垂直的定义与判定

1.平面与平面垂直定义

　　两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.

　　表示方法：平面与垂直，记作 .

　　画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图：

2.平面与平面垂直的判定定理

　　判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.

　　符号语言：

　　图形语言：

　　特征：线面垂直面面垂直

　　要点诠释：

　　平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直 .通常我们将

其记为“线面垂直，则面面垂直”.因此，处理面面垂直问题处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线

垂直问题.以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面垂直即可.

综合线面平行，可知：线线平行线面平行面面平行

线线垂直线面垂直面面垂直

（四）直线与平面垂直的性质

1.基本性质

　一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.

　　符号语言：

　　图形语言：

2.性质定理

　　垂直于同一个平面的两条直线平行.

　　符号语言：

　　图形语言：

（六）平面与平面垂直的性质

　　性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.

　　符号语言：

　　图形语言：

二、考点讲解

考点一：线面垂直

例1：如图，四棱锥 P﹣ABCD，平面 PAB⊥平面 ABCD，PA⊥AB．AB∥CD，∠DAB＝90°，PA＝AD，DC

＝2AB，E为PC 中点．

（1）求证：PA⊥BC．

（2）求证：BE⊥平面 PDC．

【分析】（1）推导出 PA⊥AB．从而 PA⊥平面 ABCD，由此能证明 PA⊥BC．

（2）取 PD 中点 F，连接 EF 、AF ，从而四边形 ABEF 是平行四边形，BE∥AF ，推导出

AF⊥PD，BE⊥PD，PA⊥DC，AD⊥DC，DC⊥平面 PAD，DC⊥AF，DC⊥BE，DC⊥BE，由此能证明

BE⊥平面 PDC．

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