高中数学专题08 解三角形 专项练习-2022届高三数学一轮复习（解析版）

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专题八 《解三角形》专项练习
一．选择题（共 8小题）
1．△ABC 中，c
¿
√
3
，b＝1，∠B
¿π
6
，则△ABC 的形状一定为（　　）
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【解答】解：△ABC 中，因为
c=
√
3，b=1，∠B=π
6
，
由正弦定理
b
sinB =c
sinC
，可得 sinC
¿
√
3
2
，
故C
¿π
3
或
2π
3
，
当C
¿π
3
时，A
，△ABC 为直角三角形；
当C
¿2π
3
时，A
¿π
6
，△ABC 为等腰三角形；
综上，△ABC 的形状一定为等腰三角形或直角三角形．
故选：D．
2．在△ABC 中，若 AB
¿
√
37
，BC＝4，
C=2π
3
，则△ABC 的面积 S＝（　　）
A．3
√
3
B．3
√
2
C．6 D．4
【解答】解：∵AB
¿
√
37
，BC＝4，
C=2π
3
，
∴由余弦定理 AB2＝AC2+BC22﹣AC•BC•cosC，可得：37＝AC2+16 2×﹣AC×4×（
−1
2
），
整理可得：AC2+4AC 21﹣＝0，
∴解得 AC＝3，或﹣7（舍去），
∴S△ABC
¿1
2
AC•BC•sinC
¿1
2
×3×4×
√
3
2=¿
3
√
3
．
故选：A．
3．在△ABC 中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，已知 bsinA
−
√
3
acosB＝2b
−
√
3
1
c，则 A＝（　　）
A．
π
3
B．
π
4
C．
π
6
D．
2π
3
【解答】解：∵bsinA
−
√
3
acosB＝2b
−
√
3
c，
∴由正弦定理可得：sinBsinA
−
√
3
sinAcosB＝2sinB
−
√
3
sinC，
sin∴BsinA
−
√
3
sinAcosB＝2sinB
−
√
3
sinC＝2sinB
−
√
3
（sinAcosB+cosAsinB），
sin∴BsinA＝2sinB
−
√
3
cosAsinB，
又∵sinB≠0，
sin∴A
+
√
3
cosA＝2，
2sin∴（A
+π
3
）＝2，可得 A
+π
3=π
2+¿
2kπ，k∈Z，
又A∈（0，π），
∴A
¿π
6
．
故选：C．
4．设 a，b，c分别为△ABC 内角 A，B，C的对边．已知 cosC
¿4
5
，bsinC＝5csinA，则
c
a=¿
（　　）
A．5 B．
√
17
C．3
√
2
D．
√
34
【解答】解：∵bsinC＝5csinA，
∴由正弦定理可得 bc＝5ca，即 b＝5a，
cos∵C
¿4
5
，
∴由余弦定理可得：c2＝a2+25a22﹣a•5a•
4
5=¿
18a2，
∴解得
c
a=¿
3
√
2
．
故选：C．
5．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他的成就代表了中世纪世界数学发展的主流与最高水
平．他在著作（数书九章）中叙述了已知三角形的三条边长 a，b，c，求三角形面积的
方法．其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜
幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即
2
为
S=
√
1
4[a2c2−( a2+c2−b2
2)
2
]
．已知△ABC 的三条边长为 a＝5，b＝7，c＝8，其面积
为（　　）
A．10 B．12 C．
10
√
3
D．
12
√
3
【解答】解：将 a＝5，b＝7，c＝8代入
S=
√
1
4[a2c2−( a2+c2−b2
2)
2
]
中，得：
S=
√
1
4[5282−( 52+82−72
2)
2
]=¿
10
√
3
．
故选：C．
6．在△ABC 中，BC ＝1，ccosA+acosC＝2bcosB，△ABC 的面积 S
¿
√
3
，则 AC 等于（
　）
A．
√
13
B．4 C．3 D．
√
15
【解答】解：2bcosB＝ccosA+acosC，
由正弦定理，得 2sinBcosB＝sinCcosA+sinAcosC，
2sin∴BcosB＝sinB，
又sinB≠0，∴cosB
¿1
2
，
∴B
¿π
3
．
∵△ABC 的面积 S
¿1
2
AB•BC•sinB
¿1
2
×
AB×1
×
√
3
2=
√
3
，解得：AB＝4，
∴AC
¿
√
A B2+B C2−2AB ⋅BC ⋅cosB=
√
16+1−2×4×1×1
2=
√
13
．
故选：A．
7．在△ABC 中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且 BC 边上的高为
a
2
，则
c
b+b
c
最
大值为（　　）
A．2 B．
√
2
C．2
√
2
D．4
【解答】解：由已知可得：
1
2
a
×a
2=1
2
bcsinA
，可得 2bcsinA＝a2＝b2+c22﹣bccosA，
∴
b
c+c
b=¿
2sinA+2cosA＝2
√
2
sin
(A+π
4)≤
2
√
2
，当且仅当 A
¿π
4
时取等号．
3
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