高中数学专题08 基本不等式及其应用解析版
专题 08 基本不等式及其应用
（平均值不等式及其应用，三角不等式）
知识梳理
一、基本不等式：
1.若 ， ，当且仅当
a
=
b
时取等号
2.（1）“积定和最小”：
a+b≥2
√
ab
如果积 是定值
P，
那么当 时，和 有最
小值 ；
（2）“和定积最大”：
ab≤
(
a+b
2
)
2
如果和 是定值
S
，那么当 时，积 有最大
值 。
3.若 ，
加权平均》算术平均》几何平均
二、平均值不等式：
若
a
、
b
为正数，则 ，当且仅当 时取等号
变式：
1
推广： 是 个正数，则 称为这 个正数的算术平均数，
称为这 个正数的几何平均数，
它们的关系是： ，当且仅当 时等号成立。
三、三角形不等式
如果 是实数，则
注：当
a , b
为复数或向量时结论也成立.
推论 1：
推论 2：如果 是实数,那么 ,当且仅当 时,等
号成立.
例题解析
一、简单基本不等式问题
【例 1】条件“
a>0
且
b>0
”是结论“
a+b
2≥
√
ab
”成立的 条件。
【难度】★【答案】充分非必要条件
【例 2】已知正数
x , y
满足
x+2y=1
，求
1
x+1
y
的最小值。判断下述解法正确与否，若不正
确，请给出正确的解法，若正确，则说明理由。
∵x>0, y >0∴1
x+1
y≥2
√
xy ,∵1=x+2y≥2
√
2xy ∴2
√
xy ≥4
√
2∴1
x+1
y
的最小值为
4
√
2
【难度】★
【答案】不正确，忽略了前两个小不等式中的取等条件，
223
ab
ba2
23
b
a2
a
b
3
b
b2a2
a
ba
b
2
a
1
当
b
a2
a
b
时，即
22b,12a,a2b
，取得最小值。
【例 3】如果正数
a , b , c , d
满足
a+b=cd =4
，那么（ ）
（A）
ab≤c+d
，且等号成立时
a , b , c , d
的取值唯一 （B）
ab≥c+d
，且等号成立时
a , b , c , d
的取值唯一
（C）
ab≤c+d
，且等号成立时
a , b , c , d
的取值不唯一 （D）
ab≥c+d
，且等号成立时
a , b , c , d
的取值不唯一
【难度】★★【答案】A
2
【例 4】设 a>0 ，b>0 则下列不等式中不成立的是（ ）
A．a+b+
1
√
ab
≥2
√
2
B
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(a+b)(
1
a
+
1
b
)≥4 C
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≥a+b D
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2ab
a+b
≥
√
ab
【难度】★★
【答案】D， A,B 显然满足，而 C 中，
【巩固训练】
1、若 x> -1 则 x 取什么值时 x+
1
x+1
的值最小？最小值是多少？
【难度】★【答案】X=0，最小值是 1
2、若 ， ，且 ，则在 中最大的一个是______
_______。
【难度】★【答案】【 】
二、不等式的最值问题
【例 5】若
x2+y2=1
，则
xy
的取值范围
【难度】★【答案】
.
【例 6】已知
x>0, y >1
，且
x(y−1)=2
，则
2x+y
的最小值 。
【难度】★★【答案】5,
【例 7】已知
x, y ∈R+
，且
x+2y=3
，则
1
x+2+1
2y+1
的最小值为 。
【难度】★★【答案】
【例 8】如图，在梯形
ABCD
中，
AD
//
BC
，
AC
、
BD
相交于
O
，记△
BCO
、△
CDO
、△
ADO
的面积
分别为
S
1、
S
2、
S
3，则
S1+S3
S2
的取值范围是 .
3
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