高中数学专题07 圆的方程（解析版）2019-2020学年高一数学下学期期末必考题型归纳及过关测试(苏教版)

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专题 07 圆的方程

2020 年江苏高一期末考点预测

1．以(a,b)为圆心、r(r>0)为半径的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.

2. 圆的方程的一般形式是 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),其中圆心为

(−D

2,−E

,半径.

3. 以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.

4．(1) 设点 P 到圆心的距离为 d,圆的半径为 r.若点 P 在圆上,则 d=r;若 P 在圆外,则 d>r;若

点 P 在圆内,则 d<r.

(2) 设点 P(m,n),圆 C:f(x,y)=(x-a)2+(y-b)2-r2=x2+y2+Dx+Ey+F=0(r>0,D2+E2-4F>0),则点

P在圆C外f(m,n)>0;点 P 在圆 C 上f(m,n)=0;点 P 在圆 C 内f(m,n)<0.

(3)已知点 M(x0，y0)和圆的方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则其位置关系如

下表：

位置关系代数关系

点M在圆外 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0

点M在圆上 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0

点M在圆内 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0

例1. 已知圆 C:x2+y2=9,点 A(-5,0),在直线 OA 上(O 为坐标原点),存在定点 B(不同于点 A),满足:

对于圆 C 上任一点 P,都有

为一常数.试求所有满足条件的点 B 的坐标.

【解析】法一:假设存在这样的点 B(t,0),

当点 P 为圆 C 与 x 轴的左交点(-3,0)时,

| 3|

t

当点 P 为圆 C 与 x 轴的右交点(3,0)时,

| -3|

依题意知

| 3|

t

| -3|

,解得 t=-5(舍去)或 t=-

下面证明点 B

- ,0

 

 

 

对于圆 C 上任一点 P,都有

为一常数.

设 P(x,y), 则 y2=9-x2, 所以

2 2

( 5)

x y

 

 

 

 

 

2 2

18 81 9-

5 25

10 25 9-

x x x

  

18 (5 17)

2(5 17)



, 从

而

为常数.

法二:假设存在这样的点 B(t,0),使得

为常数 λ,则 PB2=λ2PA2,

所以(x-t)2+y2=λ2[(x+5)2+y2],将 y2=9-x2代入得 x2-2xt+t2+9-x2=λ2(x2+10x+25+9-x2),

即 2(5λ2+t)x+34λ2-t2-9=0 对 x∈[-3,3]恒成立,

所以

2 2

5 0,

34 - -9 0,



 





解得

-5















或

-5t











(舍去).

所以存在点 B

- ,0

 

 

 

对于圆 C 上任一点 P,都有

为常数

例2.在平面直角坐标系 xOy中，已知圆 C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆 C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.

(1) 若直线 l过点 A(4，0)，且被圆 C1截得的弦长为 2，求直线 l的方程；

(2) 设P为平面上的点，满足：存在过点 P的无穷多对互相垂直的直线 l1和l2，它们分别与圆 C1和圆

C2相交，且直线 l1被圆 C1截得的弦长与直线 l2被圆 C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点 P的坐标．

【解析】(1) 设直线 l的方程为 y＝k(x－4)，即 kx－y－4k＝0，

由垂径定理，得圆心 C1到直线 l的距离 d＝＝1.

由点到直线距离公式，得＝1，化简得 24k2＋7k＝0，解得 k＝0或k＝－.

当k＝0时，直线 l的方程为 y＝0；

当k＝－时，直线 l的方程为 y＝－(x－4)，即 7x＋24y－28＝0.

∴ 所求直线 l的方程为 y＝0或7x＋24y－28＝0.

(2) 设点 P坐标为(m，n)，直线 l1，l2的方程分别为 y－n＝k(x－m)，y－n＝－(x－m)，即 kx－y＋n－

km＝0，－x－y＋n＋m＝0.

∵ 直线 l1被圆 C1截得的弦长与直线 l2被圆 C2截得的弦长相等，两圆半径相等，

∴ 由垂径定理，得圆心 C1到直线 l1与圆心 C2到直线 l2的距离相等．

∴ ＝，

化简得(2－m－n)k＝m－n－3或(m－n＋8)k＝m＋n－5.

∵ 关于 k的方程有无穷多解，

∴ 或

解得点 P坐标为或(－，).

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