高中数学专题07 幂函数、函数的应用（重难点突破）原卷版2020年秋季高一上精品讲义（新教材人教A版）

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专题 07 幂函数、函数应用（重难点突破）

一、知识结构思维导图

二、学法指导与考点梳理

重难点一幂函数

(1)幂函数的定义

一般地，形如 y＝xα的函数称为幂函数，其中 x是自变量，α为常数.

(2)常见的 5种幂函数的图象

(3)幂函数的性质

① 幂函数在(0，＋∞)上都有定义；

②当α>0 时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；

③当α<0 时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.

三、重难点题型突破

重难点 1 求幂函数的解析式

幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足：

(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为 1.

例1．已知幂函数的图象过点，则的值为（）

A．B．

C．D．

例2.（2020·河北衡水中学调研）幂函数在上为增函数，

则实数的值为（）

A．0 B．1 C．1或2 D．2

例3.（2020·陕西省高二期末（文））若函数是幂函数且在

是递减的，则（）

A．-1 B．2 C．-1 或2 D．3

【变式训练 1】.（2020·河南省实验中学模拟）幂函数 y＝f(x)经过点(3，)，则 f(x)是(　　)

A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数

B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数

C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数

D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数

【变式训练 2】.(2020·四川成都模拟)已知幂函数 f(x)＝xα，当 x>1 时，恒有 f(x)<x，则 α的

取值范围是(　　)

A．(0，1) B．(－∞，1)

C．(0，＋∞) D．(－∞，0)

重难点 2 幂函数的图像及其性质的应用

(二) 幂函数的图像及其性质的应用

1．幂函数 y=xα的图象与性质，由于 α值的不同而比较复杂，一般从两个方面考查：

①α的正负：当 α>0 时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当 α<0 时，图象不过原

点，在第一象限的图象下降，反之也成立．

② 幂函数的指数与图象特征的关系

当α≠0，1时，幂函数 y=xα在第一象限的图象特征如下：

α α>1 0<α<1 α<0

图象

特殊点过(0，0)，(1，1) 过(0，0)，(1，1) 过(1，1)

凹凸性下凸上凸下凸

单调性递增递增递减

举例 y=x2

、

2．利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧：

结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性

进行比较.

例4.（2020·山东临沂一中质检）幂函数 y＝x

2-2 -3m m

(m∈Z)的图象如图所示，则 m的值为(

)

A．－1 B．0

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