高中数学专题07 幂函数、函数的应用（重难点突破）解析版2020年秋季高一上精品讲义（新教材人教A版）

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专题 07 幂函数、函数应用（重难点突破）

一、知识结构思维导图

二、学法指导与考点梳理

重难点一幂函数

(1)幂函数的定义

一般地，形如 y＝xα的函数称为幂函数，其中 x是自变量，α为常数.

(2)常见的 5种幂函数的图象

(3)幂函数的性质

① 幂函数在(0，＋∞)上都有定义；

②当α>0 时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；

③当α<0 时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.

三、重难点题型突破

重难点 1 求幂函数的解析式

幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足：

(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为 1.

例1．已知幂函数的图象过点，则的值为（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【解析】设幂函数的表达式为，则，解得，

所以，则 .故答案为 B.

【点睛】本题考查了幂函数，以及对数的运算，属于基础题．

例2.（2020·河北衡水中学调研）幂函数在上为增函数，

则实数的值为（）

A．0 B．1 C．1或2 D．2

【答案】D

【解析】

由题意为幂函数，所以，解得或 .

因为在上为增函数，所以，即，所以 .

故选 D.

例3.（2020·陕西省高二期末（文））若函数是幂函数且在

是递减的，则（）

A．-1 B．2 C．-1 或2 D．3

【答案】A

【解析】

函数是幂函数且在是递减的，

则，解得．

故选：A．

【变式训练 1】.（2020·河南省实验中学模拟）幂函数 y＝f(x)经过点(3，)，则 f(x)是(　　)

A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数

B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数

C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数

D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数

【答案】D　

【解析】设幂函数的解析式为 y＝xα，将(3，)代入解析式得 3α＝，解得 α＝，∴y＝x，其是

非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．故选 D．

【变式训练 2】.(2020·四川成都模拟)已知幂函数 f(x)＝xα，当 x>1 时，恒有 f(x)<x，则 α的

取值范围是(　　)

A．(0，1) B．(－∞，1)

C．(0，＋∞) D．(－∞，0)

【答案】B　

【解析】当 x>1 时，恒有 f(x)<x，即当 x>1 时，函数 f(x)＝xα的图象在 y＝x的图象的下方，

作出幂函数 f(x)＝xα在第一象限的图象，由图象可知(图略)α<1 时满足题意．故选 B

重难点 2 幂函数的图像及其性质的应用

(二) 幂函数的图像及其性质的应用

1．幂函数 y=xα的图象与性质，由于 α值的不同而比较复杂，一般从两个方面考查：

①α的正负：当 α>0 时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当 α<0 时，图象不过原

点，在第一象限的图象下降，反之也成立．

② 幂函数的指数与图象特征的关系

当α≠0，1时，幂函数 y=xα在第一象限的图象特征如下：

α α>1 0<α<1 α<0

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