高中数学专题07 不等式的求解（2）原卷版

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专题 07 不等式的求解（2）
（分式不等式的求解，含绝对值不等式的求解）
知识梳理
解不等式的核心问题是不等式的同解变形，整式不等式（主要是一次、二次不等式）的
解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式、绝对值不等式等化归
为整式不等式（组）是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法．
方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相
互转化和相互变用．在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一．通过换元，可将较
复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解
化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰．
1 、分式不等式的解法
1
（1）进行同解变形： ；
分式不等式转化为整式不等式来解． ；
（2）有些分式不等式可转化为高次不等式运用“数轴标根法”即穿根法求解，但必须注意
分母不为零．
2 、含有绝对值不等式的解法
（1）掌握可化为 ， 的绝对值不等式的解法（其中 是关于
x的一次多项式）.
（2） 的解集为 ； 的解集为 .
（3）两边平方是解形如 的绝对值不等式的常用方法.
（4）|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：
① 利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②“ ”利用 零点分段法 求解，体现了分类讨论的思想；
③ 通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
（5）利用绝对值不等式的性质：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
（6）充分利用绝对值的几何意义，灵活运用数形结合思想解绝对值不等式.
3
、含参不等式的求解 ，参数可以从两方面影响不等式的求解，首先是对不等式类型的影响，
其次是字母对这个不等式解的影响，同时注意参数的选取确定了不等式的解；对于高次不等
式求解往往用穿根法，无理不等式多采用两边同时平方或分类讨论；此外对于综合性强、难
度大的不等式题目，还可以灵活运用函数、方程和不等式的相互转化来解题.
例题解析
2
一、分式不等式
【例 1】解下列分式不等式：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4）
16
x−1<x−1
．
【例 2】不等式
x−2+1
x−3＜2x+5+1
x−3
的解集是（ ）
Ａ、
(−7,+∞)
　　Ｂ、
(−∞,7)
　　Ｃ、
(−7,3 )∪(3,+∞)
　　Ｄ、
(−∞,3)∪(3,7 )
【例 3】若关于 的不等式 ；（1）当 时，求它的解集；（2）若 ，求
不等式的解集．
3
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