高中数学专题07 不等式的求解（2）解析版

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专题 07 不等式的求解（2）

（分式不等式的求解，含绝对值不等式的求解）

知识梳理

解不等式的核心问题是不等式的同解变形，整式不等式（主要是一次、二次不等式）的

解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式、绝对值不等式等化归

为整式不等式（组）是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法．

方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相

互转化和相互变用．在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一．通过换元，可将较

复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解

化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰．

1 、分式不等式的解法

（1）进行同解变形：；

分式不等式转化为整式不等式来解．；

（2）有些分式不等式可转化为高次不等式运用“数轴标根法”即穿根法求解，但必须注意

分母不为零．

2 、含有绝对值不等式的解法

（1）掌握可化为，的绝对值不等式的解法（其中是关于

x的一次多项式）.

（2）的解集为；的解集为 .

（3）两边平方是解形如的绝对值不等式的常用方法.

（4）|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：

① 利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

②“ ”利用零点分段法求解，体现了分类讨论的思想；

③ 通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．

（5）利用绝对值不等式的性质：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.

（6）充分利用绝对值的几何意义，灵活运用数形结合思想解绝对值不等式.

、含参不等式的求解，参数可以从两方面影响不等式的求解，首先是对不等式类型的影响，

其次是字母对这个不等式解的影响，同时注意参数的选取确定了不等式的解；对于高次不等

式求解往往用穿根法，无理不等式多采用两边同时平方或分类讨论；此外对于综合性强、难

度大的不等式题目，还可以灵活运用函数、方程和不等式的相互转化来解题.

例题解析

一、分式不等式

【例 1】解下列分式不等式：

（1）；（2）；

（3）；（4）

x−1<x−1

．

【难度】★★

【解析】

（1）

⇔

{

3x−1

x+2>−1

3x−1

x+2<2

⇔

{

4x+1

x+2>0

x−5

x+2<0

⇔

{

(

4x+1

)

⋅

(

x+2

)

(

x−5

)

⋅

(

x+2

)

⇔

{

x<−2or x >− 1

−2<x<5

⇔x∈

（2）原不等式可化为，此不等式与同解，

由得或，所以原不等式的解集是．

（3）原不等式可化为，即．由于的判别式

，故的值恒大于，于是原不等式与的解集相同．解

得或．所以，原不等式的解集为．

（4）原不等式等价于

(x−5)( x+3)

x−1>0

∴原不等式的解为：

−3<x<1x或>5

．

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