高中数学专题05 余弦定理、正弦定理（知识精讲）（解析版）2019-2020高一数学新教材知识讲学（人教A版必修第二册

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专题五 余弦定理、正弦定理 知识精讲
一 知识结构图
内 容 考点 关注点
余弦定理、正弦定理
余弦定理 知三求一
用正弦定理解三角形 知三求一，解得个数的判断
三角形形状的判断 边角互化
正弦定理、余弦定理在实际测
量中的应用
构造合适的三角形
二.学法指导
1．余弦定理是三角形边角之间关系的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例．
2．用余弦定理可以解决两种解三角形的题型
(1)已知三边解三角形．
(2)已知两边及一角解三角形．
3．已知两边及其中一边所对角用余弦定理求解时可能有两个解，注意用边与角之间的关系特点进行取舍．
4.适用正弦定理的两种情形：
(1)已知三角形的任意两角与一边．
(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角
5.判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行转化，既可以转化为边与边的关系，也可以转化为角
与角的关系．
6．利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来
解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．注意在边角互化过程中，正弦定理的变形使
用，如＝等.
7.已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根
据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值．或者根据该正弦值(不等于 1时)在0°～180°范围
内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求.
8.正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤
(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．
(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三
1
角形的数学模型．
(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．
(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．
三.知识点贯通
知识点 1 已知两边与一角或已知三边，利用余弦定理解三角形
余弦定理及其推论
文字表述
三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的
余弦的积的两倍
公式表达
a2＝b 2
＋ c 2
－ 2 bc cos _A，
b2＝a 2
＋ c 2
－ 2 ac cos _B，
c2＝a 2
＋ b 2
－ 2 ab cos _C
变形
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
例1.（1）在△ABC 中，已知 b＝60 cm，c＝60 cm，A＝，则 a＝________cm；
【答案】60
【解析】由余弦定理得：
a＝ ＝60(cm)．
（2）　在△ABC 中，已知 a＝2，b＝6＋2，c＝4，求 A，B，C.
【解析】根据余弦定理，cos A＝＝＝.
∵A∈(0，π)，∴A＝，
cos C＝＝＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝.∴B＝π－A－C＝π－－＝π，
∴A＝，B＝π，C＝.
知识点二 余弦定理的综合应用
余弦定理及其推论
文字表述
三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的
余弦的积的两倍
公式表达 a2＝b 2
＋ c 2
－ 2 bc cos _A，
b2＝a 2
＋ c 2
－ 2 ac cos _B，
2
c2＝a 2
＋ b 2
－ 2 ab cos _C
变形
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
例题 2：在△ABC 中，若(a－c·cos B)·sin B＝(b－c·cos A)·sin A，判断△ABC 的形状.
【解析】　∵(a－c·cos B)·sin B＝(b－c·cos A)·sin A，
∴由余弦定理可得：
·b＝·a，
整理得：(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2，
即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，
∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2.
∴a2＋b2＝c2或a＝b.
故△ABC 为直角三角形或等腰三角形
知识点三 用正弦定理解三角形
1在△ABC 中，.＝＝＝2R.（R为△ABC 外接圆的半径）
变形：sin A＝，a＝2Rsin A；sin B＝，b＝2Rsin B；sin C＝，c＝2Rsin C．
例题 3 .已知△ABC 中，a＝10，A＝30°，C＝45°，求角 B，边 b，c.
【答案】B＝105°，b＝5(＋)，c＝10.
【解析】　∵A＝30°，C＝45°，
∴B＝180°－(A＋C)＝105°，
又由正弦定理得：c＝＝10.
b＝＝＝20sin(60°＋45°)＝5(＋)．
∴B＝105°，b＝5(＋)，c＝10.
知识点四 三角形的面积
三角形的面积公式为 S＝ab·sin C＝ac·sin B＝bc·sin A.
例题 4．在△ABC 中，若 a＝2，C＝，cos ＝，求△ABC 的面积 S.
【答案】
【解析】　∵cos ＝，∴cos B＝2cos2 －1＝.∴B∈，∴sin B＝.
∵C＝，∴sin A＝sin (B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝.
∵＝，
3
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