高中数学专题05 函数的概念及其表示、分段函数（重难点突破）解析版2020年秋季高一上精品讲义（新教材人教A版）

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专题 05 函数的概念及其表示、分段函数

一、知识结构思维导图

二、学法指导与考点梳理

【基础知识梳理】

一、函数的概念

1．函数与映射的相关概念

(1)函数与映射的概念

函数映射

两个集合

A、B

设A、B是两个非空数集设 A、B是两个非空集合

对应关系

按照某种确定的对应关系 f，使对于

集合 A中的任意一个数 x，在集合 B

中都有唯一确定的数 f(x)和它对应

按某一个确定的对应关系 f，使对于

集合 A中的任意一个元素 x，在集合

B中都有唯一确定的元素 y与之对应

名称

称f：A→B为从集合 A到集合 B的

一个函数

称f：A→B为从集合 A到集合 B的一

个映射

记法 y＝f(x)，x∈A f：A→B

注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定

义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．

(2)函数的定义域、值域

在函数 y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围 A叫做函数的定义域，与 x的值相

对应的 y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．

(3)构成函数的三要素

函数的三要素为定义域、值域、对应关系.

(4)函数的表示方法

函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.

解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；

列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；

图象法：注意定义域对图象的影响.

二、函数的三要素

1．函数的定义域

函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的

要求为：

(1)分式函数中分母不等于零.

(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于 0.

(3)一次函数、二次函数的定义域均为 R.

(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}.

2．函数的解析式

(1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是 y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转

化为该形式.

(2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求

出的解析式，不注明定义域往往导致错误.

3．函数的值域

函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域：

(1)一次函数 y＝kx＋b(k为常数且 k≠0)的值域为 R.

(2)反比例函数 (k为常数且 k≠0)的值域为(−∞，0)∪(0，＋∞)．

(3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且 a≠0)，

当a>0 时，二次函数的值域为；

当a<0 时，二次函数的值域为 .

求二次函数的值域时，应掌握配方法： .

三、分段函数

分段函数的概念

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则

这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

【知识拓展】

1．(1)相等函数—如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相

等．

① 两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函

数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数．

② 函数的自变量习惯上用 x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x−1，g(t)＝

2t−1，h(m)＝2m−1 均表示相等函数.

(2)映射的个数

若集合 A中有 m个元素，集合 B中有 n个元素，则从集合 A到集合 B的映射共有个．

2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集．

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