高中数学专题05 函数 5.2二次函数与幂函数 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（解析版）

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专题四 《函数》讲义
5.2 二次函数与幂函数
知识梳理 . 二次函数与幂函数
1．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
① 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
② 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
③ 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)
值域
单调性 在上单调递减；
在上单调递增
在上单调递增；
在上单调递减
对称性 函数的图象关于 x＝－对称
2．幂函数
(1)定义：形如 y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数 x是自变量，α为常数．常见
的五类幂函数为 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1.
(2)五种幂函数的图象
(3)性质
① 幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0 时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0 时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
题型一 . 二次函数
1
考点
1. 二次函数根的分布、恒成立问题
1．函数 f（x）＝ax2+（a3﹣）x+1 在区间[ 1﹣，+∞）上是递减的，则实数 a的取值范围是
（　　）
A．[ 3﹣，0）B．（﹣∞，﹣3] C．[ 2﹣，0] D．[ 3﹣，0]
【解答】解：∵函数 f（x）＝ax2+（a3﹣）x+1 在区间[ 1﹣，+∞）上是递减的，
①当a＝0时，f（x）＝﹣3x+1，
3∵﹣ ＜0，
∴f（x）在 R上单调递减，符合题意；
②当a＞0时，函数 f（x）＝ax2+（a3﹣）x+1 为二次函数，
∵二次函数在对称轴右侧单调递增，
∴不可能在区间[ 1﹣，+∞）上递减，
故不符合题意；
③当a＜0时，函数 f（x）＝ax2+（a3﹣）x+1 为二次函数，对称轴为 x
¿−a−3
2a
，
∵二次函数在对称轴右侧单调递减，且 f（x）＝ax2+（a3﹣）x+1 在区间[ 1﹣，+∞）上
是递减的，
∴
−a−3
2a≤−¿
1，解得﹣3≤a＜0，
∴实数 a的取值范围是﹣3≤a＜0．
综合①②③，可得实数 a的取值范围是[ 3﹣，0]．
故选：D．
2．设 f（x）＝x22﹣x+a．若函数 f（x）在区间（﹣1，3）内有零点，则实数 a的取值范围
为　（﹣ 3 ， 1] 　 ．
【解答】解：f（x）的对称轴为 x＝1．
∵函数 f（x）在区间（﹣1，3）内有零点，
∴
{
△≥0
f(−1)＞0
，即
{
4−4a ≥ 0
3+a＞0
，
解得﹣3＜a≤1．
故答案为（﹣3，1]．
3．方程 mx2﹣（m1﹣）x+1＝0在区间（0，1）内有两个不同的根，则 m的取值范围为（
2
）
A．m＞1 B．m＞3+2
C．m＞3+2
√
2
或0＜m＜3
−
√
2
D．3 2﹣
√
2＜
m＜1
【解答】解：构造函数 f（x）＝mx2﹣（m1﹣）x+1，图象恒过点（0，1）
∵方程 mx2﹣（m1﹣）x+1＝0在区间（0，1）内有两个不同的根，
∴
{
m＞0
0＜m−1
2m＜1
f(1)＞0
△＞0
∴
{
m＞0
m＞1
(m−1)2−4m＞0
∴
m＞3+2
√
2
故选：B．
4．已知命题 p：∃x∈R，x2+（a1﹣）x+1＜0．若命题 p是假命题，则实数 a的取值范围为
（　　）
A．[1，3] B．[ 1﹣，3] C．（﹣1，3）D．[0，2]
【解答】解：依题意 x2+（a1﹣）x+1≥0 对任意实数 x都成立，所以△＝（a1﹣）2﹣
4≤0，解得﹣1≤a≤3．
故选：B．
5．已知函数 f（x）＝ax22﹣x+2，若对一切 x∈[
1
2
，2]，f（x）＞0都成立，则实数 a的取值
范围为（　　）
A．[ 4﹣，+∞）B．（﹣4，+∞）C．[
1
2
，+∞）D．（
1
2
，+∞）
【解答】解：由题意得，对一切 x∈[
1
2
，2] ，f（x） ＞ 0都成立，即 a
＞2x−2
x2=2
x−2
x2=−¿
2（
1
x−1
2
）2
+1
2
，
而﹣2（
1
x−1
2
）2
+1
2≤1
2
，则实数 a的取值范围为：（
1
2
，+∞）．
3
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