高中数学专题05 等式与不等式的性质（解析版）

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专题 05 等式与不等式的性质
知识梳理
1．等式的性质
(1)等式的两边同时加上(减去)同一个数或代数式，等式仍成立；
(2)等式的两边同时乘以(除以)同一个不为零的数或代数式，等式仍成立．
2．恒等式
一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也
称等式两边恒等．
3．方程的解集
一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集．
1．一元二次方程的解集
一般地，
Δ
＝
b
2－4
ac
称为一元二次方程
ax
2＋
bx
＋
c
＝0(
a
≠0)的判别式．
(1)当
Δ
>0 时，方程的解集为{ ， } ；
(2)当
Δ
＝0 时，方程的解集为；
(3)当
Δ
<0 时，方程的解集为∅．
2．一元二次方程根与系数的关系
1
若
x
1，
x
2是一元二次方程
ax
2＋
bx
＋
c
＝0(
a
≠0)的两个根，则
x
1＋
x
2＝－，
x
1
x
2＝．
一、不等式的性质：
（1）
a>b⇔b<a ;
（2）
;, cacbba
（3）
a>b⇒a+c>b+c ;
（4）
a>b , c>d⇒a+c>b+d ;
（5）
a>b , c>0⇒ac >bc ; a>b , c <0⇒ac <bc ;
（6）
a>b>0, c >d>0⇒ac >bd ;
（7）
a>b>0⇒an>bn;
、
（8）
（9）
a、b同号,且ab≠0, a>b⇒1
a<1
b;
（10）
|a|−|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.
注：在高考中，不等式性质的判断题常有出现，一般我们判断此类问题主要采用两种方法：
其一：按照性质进行判断，此种方法要求我们对不等式性质有一个全面熟练的掌握。
其二：采用赋值法/特殊值法进行判断，此种方法对于证明假命题非常适用；
二、比较两式大小的常见方法：作差法、作商法
作差法：作差是两式比较大小的常用方法，基本步骤如下：
第一步：作差；
第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段；
第三步：定号，重点是能确定是大于 0，还是等于 0，还是小于 0．最后得结论．概括为
“三步，—结论”，这里的“变形”一步最为关键．
注 1：有的问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形，到比较易于判
2
断符号时，再作差，予以比较；
注 2：含参不等式的大小判断要注意符号问题，具体根据不等式性质判断．注意分类合理恰当．
作商法：
注：在两式无法确定正负号或是否可能为 0 的情况下无法适用.
作商法的基本步骤是：①求商，②变形，③与 1 比大小从而确定两个数的大小.
例题解析
一、等式性质与方程的解集
（1）利用十字相乘法分解单变量多项式
角度一　
x
2＋(
p
＋
q
)
x
＋
pq
型式子的因式分解
例 1. 分解因式：
(1)
x
2－3
x
＋2；
(2)
x
2＋4
x
－12.
【解析】　(1)如图，将二次项
x
2分解成图中的两个
x
的积，再将常数项 2 分解成－1 与－2
的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3
x
，就是
x
2－3
x
＋2 中的一次项，所以
x
2－3
x
＋2＝(
x
－1)(
x
－2)．
说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图中的两个
x
用 1 来表示(如图)．
(2)由图，得
所以
x
2＋4
x
－12＝(
x
－2)(
x
＋6).
角度二　
ax
2＋
bx
＋
c
型式子的因式分解
3
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