高中数学专题04 常用逻辑用语（2）（反证法）解析版

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专题 04 常用逻辑用语（2）（反证法）

知识梳理

反证法的步骤是：

（1）假设结论不成立；

（2）从假设出发推出矛盾；

（3）假设不成立，则结论成立．

在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定

一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．

思考：将 9 个求分别染成红色或白色，那么无论怎样染，至少有 5 个球是同色的，怎么证明

这个结论呢？

反证法的定义：

【答案】

反证法是间接论证的方法之一。亦称“逆证”。是通过断定与论题相矛盾的判断（即

反论题）的虚假来确立论题的真实性的论证方法。反证法的论证过程如下：首先提出论题：

然后设定反论题，并依据推理规则进行推演，证明反论题的虚假；最后根据排中律，既然反

论题为假，原论题便是真的。在进行反证中，只有与论题相矛盾的判断才能作为反论题，论

题的反对判断是不能作为反论题的，因为具有反对关系的两个判断可以同时为假。反证法中

的重要环节是确定反论题的虚假，常常要使用归谬法。反证法是一种有效的解释方法，特别

是在进行正面的直接论证或反驳比较困难时，用反证法会收到更好的效果。

1.（1）想一想，我们接触过哪些数学问题是用反证法证明的？在实际生活中有没有这样的

例子？请举出一例。

【答案】

比如线面平行的判定定理的证明等

生活中的反证法举例：

人的从众心理：这个餐厅的菜很难吃。假设好吃，那么周末晚上一生意很好，而实际没

有顾客，于是矛盾，所以假设不成立，所以难吃.

（2）设均为正实数，反证法证明：至少有一个不小于 2.

【解析】

【分析】

假设结论反面成立，即全部小于 2.然后推理出矛盾结论．

【详解】

证明：假设全部小于 2.即，

则，①

又，当且

仅当时等号成立，

与①矛盾，所以假设错误．原命题为真．

所以至少有一个不小于 2.

2.试说出下列命题的反面：

（1）a 是实数。　　（2)a 大于 2。

（3）a 小于 2。　　（4）至少有 2 个

（5）最多有一个　　（6）两条直线平行。

【答案】

（1）a 不是实数。　　（2)a 小于等于 2。

（3）a 大于等于 2。　　（4）至多有 1 个

（5）最少有两个　　（6）两条直线不平行。

3.用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的

第一步反设：如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形是等腰三角形。　

4.已知：一个整数的平方能被 2 整除求证：这个数是偶数。

证明：假设这个整数不是偶数，则由题意可知该数为奇数，

设该整数为 2

+1，则(2

+1)2=4

2+4

+1，

显然不能被 2 整除，这与已知条件矛盾，所以假设不成立，所以这个整数是偶数。

思考：反证法的步骤是什么？

（1）否定结论；（2）推出矛盾；（3）结论成立

（四）当堂检测

1．求证：一个三角形中，最大的角不小于 600..

【解析】

试题分析：利用反证法证明命题.

试题解析:

证明：假设的三个内角中最大的角小于 60°，即，

则，这与三角形内角和为 180°矛盾，

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