高中数学专题03 常用逻辑用语（1）原卷版

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专题 03 常用逻辑用语（1）
命题，充分条件与必要条件
知识梳理
一、命题的概念
1、一般地，我们把可以判断真假的语句叫做命题。
2、命题通常用陈述句表示，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。
3、一般地，如果命题
α
成立可以推出命题
β
也成立，那么就说由
可以推出
，记作
α⇒β
。
相反的，如果
成立不能推出
成立，那么就说由
不可以推出
，记作
α
β
。
4、如果
，并且
β⇒α
，那么就说
与
等价，记作
α⇔β
。
1
二、四种命题形式
1、一个数学命题用条件
，结论
表示就是“如果
α
，那么
”，把结论与条件
交换，就得到一个新命题“如果
，那么
”，我们把这个命题叫做原命题的逆命题。
2、如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件与结论的否定，我们把这两
个命题叫做互否命题。如果其中一个叫做原命题，那么另外一个叫做原命题的否命题。
3、命题
、
的否定分别记作
¯
α
、
¯
β
。
4、如果把原命题“如果
，那么
”结论的否定作条件，把条件的否定作结论，那
么就可以得到一个新命题，我们将它叫做原命题的逆否命题。
5、四种命题形式及其相互关系:
6、常见结论的否定形式：（拓展内容）
原结论 否定形式 原结论 否定形式
是 不是 至少有一个 没有
都是 不都是 至多有一个 至少有二个
大于 小于或等于 至少有 个 至多有 -1 个
小于 大于或等于 至多有 个 至少有 +1 个
对所有的 成立 存在 不成立 或 非 且非
对任何的 不成立 存在 成立 且 非 或非
2
三、充要条件
1、充分条件与必要条件：
一般地，用
α
、
β
分别表示两个命题，如果
成立，可以推出
也成立，即
，
那么
叫做
的充分条件。
叫做
的必要条件。
2、充要条件：
如果既有
，又有
，即有
α⇔β
，那么
既是
的充分条件又是
的
必要条件，这时我们就说
是
的充要条件。
例题解析
一、有关命题的概念
【例 1】判断下列语句是否是命题：
⑴ 张三是四川人；⑵ 是个很大的数；⑶ ；⑷ ；⑸ ；
【例 2】判断下列语句是不是命题，若是，判断出其真假，若不是，说明理由.
（1）矩形难道不是平行四边形吗？
（2）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？
（3）求证：
x∈R
，方程
x2+x+1=0
无实根.
（4）
x>5
（5）人类在 2020 年登上火星.
3
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