高中数学专题1.3 空间几何体的表面积与体积—《同步课堂帮帮帮》2020-2021学年高一数学人教必修2

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第一章空间几何体

1.3 空间几何体的表面积与体积

一、棱柱、棱锥、棱台的表面积

1．棱柱、棱锥、棱台的表面积的概念

棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是各个面的面积之_________，因

此，我们可以把多面体展开成平面图形，利用平面图形求面积的方法求多面体的表面积．

2．棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积

（1）侧面积：棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图分别是由若干个_________、_________、_________所组

成的．侧面展开图的面积称为几何体的侧面面积（即侧面积）．由此可知，棱柱、棱锥、棱台的侧面积

就是它们的各个侧面的面积之和．

（2）表面积：棱柱、棱锥、棱台的平面展开图是将其所有_________和_________展开后形成的一个平

面图形，因而平面展开图的面积就是它们的表面积．可见，棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成这些几

何体的各个平面的面积之和，也可表示为：

，，．

3．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面面积

（1）直棱柱的侧面积：把直棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)沿一条侧棱剪开后，得到的侧面展开图是一

个矩形．

如图(1)所示，则直棱柱的侧面面积为 _________(c为底面周长，h为侧棱长)．

（2）正棱锥的侧面积：正棱锥(底面是正多边形，顶点在底面的正投影是底面的中心)的侧面展开图是

几个全等的等腰三角形．

如图(2)所示，则正棱锥的侧面面积为 _________(c为底面周长，h′为斜高，即侧面等腰三角形底边

上的高)．

（3）正棱台的侧面积：正棱台(由正棱锥截得)的侧面展开图是几个全等的等腰梯形．

如图(3)所示，则正棱台的侧面面积为 _________(c′，c分别为上、下底面周长，h′为斜高，即侧面等

腰梯形的高)．

二、圆柱、圆锥、圆台的表面积

圆柱（底面半径为 r，

母线长为 l）

圆锥（底面半径为 r，

母线长为 l）

圆台（上、下底面半径分

别为 r′，r，母线长为 l）

侧面展开图

底面面积 S底=_________ S底=πr2S上底=πr′2，S下底=πr2

侧面面积 S侧=2πrl S 侧=_________ S侧=πl(r′+r)

表面积 S表=2πr(r+l)S表=πr(r+l)S表=_________

三、柱体、椎体、台体的体积

1．柱体、椎体、台体的高

（1）棱柱（圆柱）的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与

垂足（垂线与底面的交点）之间的距离．圆柱的_________即圆柱的高．

（2）棱锥（圆锥）的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离．

（3）棱台（圆台）的高是指两个_________之间的距离．

2．柱体、锥体、台体的体积

几何体体积

柱体 V柱体=_________(S为底面面积，h为高)，V圆柱=πr2h(r为底面半径，h为高)

锥体 V锥体=Sh(S为底面面积，h为高)，V圆锥=_________(r为底面半径，h为高)

台体

(S′、S分别为上、下底面面积，h为高)，

V圆台= πh(r′2+r′r+r2)(r′、r分别为上、下底面半径，h为高)

四、组合体的表面积与体积

求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后

根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减．

求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，再相加或相减．

五、球的体积与表面积

1．球的体积

设球的半径为 R，它的体积只与半径 R有关，是以 R为自变量的函数．事实上，如果球的半径为 R，那

么它的体积 _________．

2．球的表面积

设球的半径为 R，它的表面积由半径 R唯一确定，即它的表面积 S是以 R为自变量的函数．事实上，如

果球的半径为 R，那么它的表面积 _________．

六、球的截面

1．球的截面在解决球的相关计算问题中的作用

（1）当截面过球心时，截面圆的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆；

（2）当截面不过球心时，截面圆的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆．

2．球的截面的性质

（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面；

（2）球心到截面的距离 d与球的半径 R及截面圆的半径 r之间满足关系式: ．

三、球的切、接问题（常见结论）

（1）若正方体的棱长为，则正方体的内切球半径是；正方体的外接球半径是；与正方体所

有棱相切的球的半径是．

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