高中数学专题01 不等式的恒成立及有解问题（原卷版）2020-2021学年新教材高一数学寒假辅导讲义（沪教版2020）

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专题 01 不等式的恒成立及有解问题
知识梳理
在不等式的知识中，有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立、恰成立及有解。
这类条件下不等式参数的取值范围问题，涉及的知识面广，综合性强，同时数学语言抽象，
如何从题目中提取可借用的知识模块往往捉摸不定，难以寻觅。这类问题综合考查函数、方
程和不等式的主要内容，并且与函数的最值、方程的解和参数的取值范围紧密相连。在分析
这类问题中要注意区分不等式恒成立、能成立、恰成立：①恒成立问题（关键词：对所有，
任意、恒）；②能成立问题（关键词：有解，存在，解集非空，能）；③恰成立问题（关键
词：定义域，值域，方程有解）。解决这类题型常用的方法有：分离参数法、数形结合法、
判别式法、更换主元法、构造函数的方法等等。
例题解析
一.不等式恒成立
1.变量分离：
若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，
且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函
数的最值问题求解。这类题型的基本解题思路如下：
1
（1） 将参数与变量分离，即化为 （或 ）恒成立的形式；
（2） 求 在 上的最大（或最小）值；
（3） 解不等式 (或 ) ，得 的取值范围.
【例 1】当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围.
【例 2】已知函数
]4,0(,4)( 2xxxaxxf
时
0)( xf
恒成立，求实数
a
的取值范围.
【例 3】已知 时，不等式 恒成立，求 的取值范围.
【巩固训练】
1.不等式
|x−a|+|x−3|>4
对一切实数
x
恒成立，求实数
a
的取值范围.
2.已知不等式
0224
xx
a
对于
,1[x
）恒成立，求实数
a
的取值范围.
3.设
f(x)=lg
(
1+2x+a⋅4x
3
)
其中 ，如果 时， 恒有意义，求 的取值
范围.
2.利用二次函数的性质
对形如
或
f
(
x
)
<0
在其定义域上的不等式恒成立问题，若
f
(
x
)
满足二次函数的
一般结构，那不妨将题转化成二次函数在其定义域上的图像在坐标系中与
x
轴的高低比较。
一般来讲，对
ax2+bx +c>0
（或
ax2+bx +c<0
）在
x∈R
上恒成立问题，可以利用
二次项系数及判别式进行讨论；
对
ax2+bx +c>0
（或
ax2+bx +c<0
）在
x∈D
（
D≠R
）上恒成立问题，常用分
离参数法，有时，也可以选用判别式法。
【例 4】若不等式
(m−1)x2+( m−1)x+2>0
的解集是 ，求 的范围.
【例 5】 已知
f(x)=x2+ax +3−a
，若 恒成立，求 的取值范围.
2
【巩固训练】
1.已知不等式
kx2+kx +6
x2+x+2>2
对任意的
x∈R
恒成立，求实数
k
的取值范围.
2.设 ,当 时，都有 恒成立，求 的取值范围.
3.变换主元：
在不等式的恒成立问题中，有一类题型是题中的参数如
a
、
m
、
k
等的范围是已知的，
而题要求的反而是变量
x
的范围。这类题型中，由于已知范围的变量是以前我们所接触的参
数，因而题中的函数结构也就发生了改变，此时函数是以参数为自变量的函数。一般来说，
我们在观察这类恒成立问题时，哪个变量的范围是已知的，哪个就是该函数的自变量。
【例 6】对于满足 的所有实数 ,求使不等式 恒成立的 的取值范
围.
【例 7】若不等式
0224
xx
a
对于
]3,(a
恒成立，求实数
x
的取值范围.
【巩固训练】
1.若不等式 对满足 的所有 都成立，求 的范围.
2.设函数是定义在 上的增函数，如果不等式 对于任意
恒成立，求实数 的取值范围.
二.不等式能成立和恰成立
1.能成立问题
若在区间
D
上存在实数
x
使不等式
 
Axf
成立，则等价于在区间
D
上
 
max
f x A
；
若在区间
D
上存在实数
x
使不等式
 
Bxf
成立，则等价于在区间
D
上的
 
min
f x B
.
【例 8】存在实数 ，使得不等式
2
2 0kx k  
有解，求 k 的取值范围
【例 9】已知函数
f
(
x
)
=lg
(
a−ax−x2
)
，若定义域不为空集,试求
a
的取值范围.
3
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