高中数学专题01 不等式的恒成立及有解问题（解析版）2020-2021学年新教材高一数学寒假辅导讲义（沪教版2020）

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专题 01 不等式的恒成立及有解问题
知识梳理
在不等式的知识中，有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立、恰成立及有解。
这类条件下不等式参数的取值范围问题，涉及的知识面广，综合性强，同时数学语言抽象，
如何从题目中提取可借用的知识模块往往捉摸不定，难以寻觅。这类问题综合考查函数、方
程和不等式的主要内容，并且与函数的最值、方程的解和参数的取值范围紧密相连。在分析
这类问题中要注意区分不等式恒成立、能成立、恰成立：①恒成立问题（关键词：对所有，
任意、恒）；②能成立问题（关键词：有解，存在，解集非空，能）；③恰成立问题（关键
词：定义域，值域，方程有解）。解决这类题型常用的方法有：分离参数法、数形结合法、
判别式法、更换主元法、构造函数的方法等等。
例题解析
一.不等式恒成立
1.变量分离：
若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，
且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函
数的最值问题求解。这类题型的基本解题思路如下：
1
（1） 将参数与变量分离，即化为 （或 ）恒成立的形式；
（2） 求 在 上的最大（或最小）值；
（3） 解不等式 (或 ) ，得 的取值范围.
【例 1】当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围.
【难度】★★
【答案】 .
【解析】 当 时，由 得 .令 ，则易知
在 上是增函数，所以 时 ，则 .
【例 2】已知函数
]4,0(,4)( 2xxxaxxf
时
0)( xf
恒成立，求实数
a
的取值范围.
【难度】★★
【答案】
0a
【解析】将问题转化为
x
xx
a
2
4
对
]4,0(x
恒成立.
令
x
xx
xg
2
4
)(
，则
由
1
44
)(
2
xx
xx
xg
可知
)(xg
在
]4,0(
上为减函数，故
0)4()(
min
gxg
∴
0a
即
a
的取值范围为
)0,(
.
【例 3】已知 时，不等式 恒成立，求 的取值范围.
【难度】★★★
2
【答案】
【解析】令 ， 所以原不等式可化为： ，
要使上式在 上恒成立，只须求出 在 上的最小值即可.
.
【巩固训练】
1.不等式
|x−a|+|x−3|>4
对一切实数
x
恒成立，求实数
a
的取值范围.
【难度】★★
【答案】
a>7
或
a<−1
【解析】设
f
(
x
)
=|x−a|+|x−3|
，易知函数
f
(
x
)
的最小值是
|a−3|
，由
f
(
x
)
>4
恒成立，即
|a−3|>4
，解得
a>7
或
a<−1
.
2.已知不等式
0224
xx
a
对于
,1[x
）恒成立，求实数
a
的取值范围.
【难度】★★★
【答案】
22a
【解析】由
0224
xx
a
得：
x
x
a2
2
2
对于
,1[x
）恒成立，因
2
1
2
x
，所以
22
2
2
2
x
x
，当
22
x
时等号成立.所以有
22a
.
3
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