高中数学之导数解题技法全指导专题01 与切线有关的题目的一般解法（解析版）

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与切线有关的题目的一般解法
与切线有关的题目是导数部分的重要题型，本题型规律性较强，一般都要用到导数的几何意义
，不知切点坐标时要设出坐标，切点既在切线上也在曲线上。现结合实例归纳总结如下：
一、已知切点坐标求切线方程
先求斜率 ；再由点斜式写出切线方程 。
例1.求曲线 y＝sin x＋ex在点(0,1)处的切线方程。
解：y′＝cos x＋ex，故切线斜率为 k＝2，切线方程为 y＝2x＋1，即 2x－y＋1＝0.
变式．求曲线 y＝在 x＝－2处的切线方程。
解：y′＝′＝＝，k＝＝1，y＝＝2，故切点坐标为(－2，2)．切线方程为 x－y＋4＝0。
二、不知切点坐标求切线方程
例2.．已知曲线 y＝ln x 的切线过原点，求此切线的方程。
分析：不知切点的坐标要先设出切点的坐标。
解：y＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且 y′＝，设切点为(x0，ln x0)，则 y′|x＝x0＝，切线方程为 y－lnx0＝
(x－x0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x0＝－1，解得 x0＝e，故此切线的方程为 。
点评：由斜率得到关于 的方程，先求出 的值。
变式．求过点(0，－4)与曲线 y＝x3＋x－2相切的直线方程。
解：∵点(0，－4)不在曲线 y＝x3＋x－2上，设切点坐标为(x0，y0)，
切线斜率 k＝3x＋1，切线方程为 y－y0＝(3x＋1)(x－x0)，又点(0，－4)在切线上，
∴－4－y0＝(3x＋1)(－x0)，又 y0＝x＋x0－2，∴－4－x－x0＋2＝－3x－x0，解得 x0＝1
∴切点坐标为(1,0)，切线方程为 y＝4x－4。
三、与切线方程有关的综合问题
例 3.已知函数 f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象过点 P(0,2)，且在点 M(－1，f(－1))处的切线方程为 6x－y＋7
＝0，求函数 f(x)的解析式．
分析：由 和 得到关于 b、c 的方程组。
解：由f(x)的图象经过点 P(0,2)，知 d＝2，所以 f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2.
f ′(x)＝3x2＋2bx＋c.因为在 M(－1，f(－1))处的切线方程是 6x－y＋7＝0，
可知－6－f(－1)＋7＝0，即 f(－1)＝1，f ′(－1)＝6.∴
即解得 b＝c＝－3.故所求的解析式是 f(x)＝x3－3x2－3x＋2.
点评：注意利用切点既在切线上也在曲线上。
变式。偶函数 f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点 P(0，1)，在 x＝1处的切线方程为 y＝x－2，求 f(x)
1
的解析式．
解：∵f(x)的图象过点 P(0，1)，∴e＝1.又f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即 ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3
＋cx2－dx＋e.∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.∵函数 f(x)在x＝1处的切线方程为 y＝x－2，∴可得切点为
(1，－1)．∴ ，即 a＋c＋1＝－1①，
∵f′(x)＝4ax3＋2cx，∴f′(1)＝4a＋2c.∴4a＋2c＝1②，由①②得 a＝，c＝－.
∴f(x)＝x4－x2＋1.
小试牛刀
1．函数 f(x)＝x2＋1在点(1,2)处的切线斜率为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
1.B f′(x)＝2x，∴ 在点(1,2)处的切线斜率 .
2．若曲线 f(x)＝x4－x在点 P处的切线平行于直线 3x－y＝0，则点 P的坐标为(　　)
A．(1,3) B．(－1,3) C．(1,0) D．(－1,0)
2.C 设
P
(
x
0，
y
0)，
f
′(
x
)＝4
x
3－1，由题意得
f
′(
x
0)＝3，∴4
x
－1＝3，∴
x
0＝1.
∴
y
0＝
x
－
x
0＝0，故选 C.
3．已知抛物线 y＝－2x2＋bx＋c在点(2，－1)处与直线 y＝x－3相切，则 b＋c的值为(　　)
A．20 B．9 C．－2 D．2
3.C 由题意得
y
′|
x
＝2＝1，又
y
′＝－4
x
＋
b
，∴－4×2＋
b
＝1，∴
b
＝9，
又点(2，－1)在抛物线上，∴
c
＝－11，∴
b
＋
c
＝－2，故选 C.
4．函数 f(x)＝excosx的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角的余弦值为(　　)
A．－ B． C． D．1
4.C
f
′(
x
)＝e
x
cos
x
－e
x
sin
x
，∴
f
′(0)＝1.设
f
(
x
)在点(0，
f
(0))处切线的倾斜角为
α
，则 tan
α
＝
1，∵
α
∈(0，π)，∴
α
＝，∴cos
α
＝.
5．曲线 y＝x3＋x在点处的切线与坐标轴围成的三角面积为(　　)
A.　 　　 B.　 　　 C.　 　　 D.
5. A y′＝x2＋1，当 x＝1时，k＝y′|x＝1＝2，∴切线方程为 y－＝2(x－1)．当 x＝0时，y＝－，当 y＝0
时，x＝.∴三角形的面积 S＝×|－|×＝.
6．若曲线 f(x)＝xsinx＋1在x＝处的切线与直线 ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数 a等于(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
6. D 据已知可得 f′(x)＝sinx＋xcosx，故 f′＝1.由两直线的位置关系可得－×1＝－1，解得
a＝2.
7．设函数 f(x)＝g(x)＋x2，曲线 y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为 y＝2x＋1，则曲线 y＝f(x)在点(1，f
(1))处的切线的斜率为(　　)
A．4 B．－ C．2 D．－
7. A ∵f(x)＝g(x)＋x2，∴f′(x)＝g′(x)＋2x，f′(1)＝g′(1)＋2＝2＋2＝4.
8．若函数 f(x)＝x3＋f′(1)x2－f′(2)x＋3，则 f(x)在点(0，f(0))处切线的倾斜角为(　　)
2
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