高中数学素材-数形结合问题总结

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数形结合思想在高中数学中的应用

一、什么是“数形结合思想”？

数形结合是一种数学思考方法；是数学研究和学习中的重要思想；也是解决数学问题的

有效方法。“以形助数”可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化；能够把抽象的数学语言

变为直观的图形语言、把抽象的数学思维变为直观的形象思维；“以数助形”有助于把握数

学问题的本质。

二、什么类型的题可以用“数形结合思想”解决？

“数”和“形”是数学研究的两个基本对象。

数，通俗地说一般是指文字语言、数学符号语言、代数式等；

形，通俗地说一般指图形语言、函数图象、代数式的几何意义等。

既能用“数”表示，又能用“形”表示的知识就可以用数形结合思想解决。

数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合思想，可以解决以下问

题：

① 集合问题②函数问题③方程与不等式问题④三角函数问题⑤向量问题⑥数列问题⑦线

性规划问题⑧解析几何问题⑨立体几何问题⑩绝对值问题

三、数形结合思想应用举例

（一）在集合中的应用

【知识点】集合的基本运算

集合的并集集合的交集集合的补集

文字表示 A∪B A∩B若全集为 U，则集

合A的补集为∁UA

符号语言 {x|x∈A，或 x∈B} {x|x∈A，且 x∈B}{x|x∈U，且

x∉A}

图形语言

在这个知识点中集合的三种运算除了抽象的符号语言描述之外，还有直观的图形语言。

所以在解决某些集合的运算问题时，我们可以用数形结合思想。

【例 1】

(1)已知

(2)已知集合 A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若 B⊆A，则实数 m的取值范围是____

___.

【小结】

数形结合在集合中的应用，主要体现在集合的基本运算中：

（1）离散的集合用 Venn 图表示

（2）连续的数集用数轴表示，注意端点

（二）在函数中的应用

1.二次函数区间求值问题

二次函数的图象我们都很熟悉，所以在解决二次函数的相关问题时，我们就可以借助图

象来进行。

【例 2】已知，求 f(x)在[1,2]上的最小值

【跟踪训练】已知，求 f(x)在[t,t+2]上的最小值

2.函数性质综合应用

函数的性质在图象上都有直观的反应，所以在利用函数性质解决某些问题时，我们就可

以借助图象来进行。

【例 3】设函数，若函数 y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数 a

的取值范围是________.

【例 4】已知函数，则满足不等式的 x的取值范围为

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