高中数学人教A版选修2-2第一章导数精讲教案

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高二导数精讲

一导数的概念

（一）导数的定义

1.导数的原始定义：设函数在

x=x0

处附近有定义，当

Δx→0

时，

Δy

与

Δx

的比

Δy

Δx

(也叫函数的平均变化率 )有极限即

Δy

Δx

无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数

在

x→x0

处的导数，记作，即

2.导函数的定义：如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个

，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数，称这个函数

为函数在开区间内的导函数，简称导数.

（二）导数的实际意义

1.导数的几何意义：

是曲线上点处的切线的斜率.因此，如果在点

可导

则曲线在点处的切线方程为 .

2.导数的物理意义：

导数是物体变速直线运动的瞬时速度，也叫做瞬时变化率.

（三）概念部分题型：

1.利用定义求函数的导数

主要有三个步骤：

（1）求函数的改变量

（2）求平均变化率

（3）取极限，得导数

2.利用导数的实际意义解题

主要有两种：求切线方程和瞬时速度，考试重点为求切线方程.

二导数的运算

（一）常见函数的导数

1. 2. 3. 4. 5.

6 7. 8.

（二）导数的四则运算

1.和差： 2.积： 3.商：

（三）复合函数的导数

1.运算法则复合函数导数的运算法则：

2.复合函数的求导的方法和步骤：

求复合函数的导数一定要抓住“中间变量”这一关键环节，然后应用法则，由外向里一层层求导，注

意不要漏层.

求复合函数的导数的方法步骤：（1）分清复合函数的复合关系，选好中间变量；

（2）运用复合函数求导法则求复合函数的导数，注意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数；

（3）根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函

数.

三导数的应用

（一）利用导数判断函数单调性及求解单调区间

1.导数和函数单调性的关系：

（1）若在上恒成立，则在上是增函数，的解集与定

义域的交集的对应区间为增区间；

（2）若在上恒成立，则在上是减函数，的解集与定

义域的交集的对应区间为减区间.

2.利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：

① 确定的定义域； ② 计算导数； ③ 求出的根；

④ 用的根将的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内的符号，

进而确定的单调区间：若，则在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；

若，则在对应区间上是减函数，对应区间为减区间.

（二）利用导数求解函数极值与最值

1.极值与最值的定义

（1）极大值：一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有

，就说是函数的一个极大值，记作 y极大值=，是极大值点.

（2）极小值：一般地，设函数在附近有定义，若对附近的所有的点，都有

，就说是函数的一个极小值，记作 y极小值=，是极小值点.

（3）函数的最大值和最小值：在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值，

分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值.

2.极值的性质

（1）极值是一个局部概念.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，

并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.

（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.

（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值.

（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最

小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.

3.判别是极大、极小值的方法：

若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是

极值，并且若在两侧满足“正右负”，则是的极大值点，是极大值；若

在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值.

4.求函数的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数；

（2）求方程的根；

（3）用函数的导数为 0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查

在方程根左右的值的符号，若左正右负，则在这个根处取得极大值；若左负右正，则在这

个根处取得极小值；若左右不改变符号即都为正或都为负，则在这个根处无极值.

5.利用导数求函数的最值步骤

（1）求在内的极值；

（2）将的各极值与比较得出函数在上的最值.

（三）利用导数求解证明不等式

主要方法为将不等式左右两边的多项式移到一边，构造出一个新的函数

，通过对求导，根据的大小和导数的性质，结合已知条件进行求

解或证明.

一. 导数的几何意义

（一）利用导数的几何意义求切线方程

1.（2015·赣州市十二县联考）函数在点处的切线斜率

为（）

A. B. C. D.

2.（2015·山西省二诊）函数的零点个数为________

3.求过点且与曲线相切的直线方程．

4.已知函数 .

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求经过点的曲线的切线方程.

5.函数的曲线上点处的切线与直线的夹角为，则点的坐标为________

6.若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标为________

7.（2016·全国丙卷）已知为偶函数，当时，，则曲线

在点处的切线方程为____________

8.（2017·上饶模拟）若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值

为（）

A.1 B. C. D.

9.（2016 全国Ⅱ）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，

则________

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