高中数学高中数学人教A版（2019）必修第二册第六章向量知识点复习+典型例题+变式训练+答案（学生版）

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第六章向量知识点复习+典型例题+变式训练+答案（学生版）
知识点归纳：
1、向量的概念：
①向量： 　　②零向量：　③单位向量：　④平行向量（共线向量）　⑤相等向量
2、向量加法：设 ，则
⃗a
+ = =
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（1）
；（2）向量加法满足交换律与结合律；
向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：
3、向量的减法 ：向量
⃗a
加上
⃗
b
的相反向量叫做
⃗a
与
⃗
b
的差，记作：
⃗a−⃗
b=⃗a+(−⃗
b)
，求两
个向量差的运算，叫做向量的减法，③作图法：
⃗a−⃗
b
可以表示为从
⃗
b
的终点指向
⃗a
的终点的
向量（
⃗a
、
⃗
b
有共同起点）
4、实数与向量的积：
①实数 λ与向量
⃗a
的积是一个向量，记作 λ
⃗a
，它的长度与方向规定如下：
（Ⅰ）
|λ⃗a|=|λ|⋅|⃗a|
；
（Ⅱ）当
λ>0
时，λ
⃗a
的方向与
⃗a
的方向相同；当
λ<0
时，λ
⃗a
的方向与
⃗a
的方向相反；
当
λ=0
时，
λ⃗a=⃗
0
，方向是任意的
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②数乘向量满足交换律、结合律与分配律
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5、两个向量共线定理：向量
⃗
b
与非零向量
⃗a
共线
⇔
有且只有一个实数
λ
，使得
⃗
b
=
λ⃗a
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6、平面向量的基本定理：
如果
⃗e1,⃗e2
是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量
⃗a
，有且只有一
对实数
λ1, λ2
使：
⃗a=λ1⃗e1+λ2⃗e2
其中不共线的向量
⃗e1,⃗e2
叫做表示这一平面内所有向量的一组
基底
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1
7、两个向量的数量积：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为
θ
，则 · =︱ ︱·︱ ︱
cos
θ
叫做 与 的数量积（或内积）规定
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8、向量的模与平方的关系：
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；
9、平面向量数量积的运算律：
① 交换律成立： ②对 实数的结合律成立：
③ 分配律成立： 特别注意：（1）结合律不成立：
；（2）消去律不成立 不能得到
（3） =0 不能得到 = 或 =
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10 、 两 个 向 量 的 数 量 积 的 坐 标 运 算 ： 已 知 两 个 向 量 ， 则 · =
11、向量的夹角：已知两个非零向量 与 ，作 = , = ,则∠AOB=
θ
（
00≤θ≤1800
）叫做向量 与 的夹角
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cos
θ
= =
x1x2+y1y2
√
x12+y12
⋅
√
x22+y22
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当且仅当两个非零向量 与 同方向时，θ=00，当且仅当 与 反方向时 θ=1800，同时 与
其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题
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12、垂直：如果 与 的夹角为 900则称 与 垂直，记作 ⊥
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13、两个非零向量垂直的充要条件
：
⃗a
⊥
⃗
b
⇔
⃗a
·
⃗
b
＝O
⇔
x1x2+y1y2=0
14 、 两 个 向 量 平 行 的 充 要 条 件 是 ： 有 且 只 有 一 个 非 零 实 数 λ， 使 =λ ，
b
⃗
a
⃗
2
题型一、平面向量的相关概念
【例 1－1】下列命题：（1）若 ，则 。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起
点相同，终点相同。（3）若 ，则 是平行四边形。（4）若 是平行四边
形，则 。（5）若 ，则 。（6）若 ，则 。其中正确的是_
______
【例 1－2】（多选）已知向量 ， 是同一平面 内的两个向量，则下列结论正确的是
A．若存在实数 ，使得 ，则 与 共线
B．若 与 共线，则存在实数 ，使得
C．若 与 不共线，则对平面 内的任一向量 ，均存在实数 ， ，使得
D．若对平面 内的任一向量 ，均存在实数 ， ，使得 ，则 与 不共线
【变式 1－1】判断下列各命题是否正确,并说明理由:
(1)单位向量都相等；
(2)两相等向量若起点相同,则终点也相同
(3)若,则 ；
(4)由于零向量方向不确定,故它不能与任意向量平行
【变式 1－2】（多选）设 ， ， 是任意的非零向量，则下列叙述正确的有
A．若∥，∥，那么∥
B．若•＝•，则＝
C．如果 与 是共线向量，那么有且只有一个实数 ，使 ＝
0//
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3
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