高中数学高中数学人教A版（2019）必修第二册第六章向量知识点复习+典型例题+变式训练+答案（教师版）

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第六章向量知识点复习+典型例题+变式训练+答案（教师版）

知识点归纳：

1、向量的概念：

①向量：　　②零向量：　③单位向量：　④平行向量（共线向量）　⑤相等向量

2、向量加法：设，则

⃗a

+ = =

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（1）

⃗

0+⃗a=⃗a+⃗

0=⃗a

；（2）向量加法满足交换律与结合律；

向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：

3、向量的减法：向量

⃗a

加上

⃗

的相反向量叫做

⃗a

与

⃗

的差，记作：

⃗a−⃗

b=⃗a+(−⃗

，求两

个向量差的运算，叫做向量的减法，③作图法：

⃗a−⃗

可以表示为从

⃗

的终点指向

⃗a

的终点的

向量（

⃗a

、

⃗

有共同起点）

4、实数与向量的积：

①实数 λ与向量

⃗a

的积是一个向量，记作 λ

⃗a

，它的长度与方向规定如下：

（Ⅰ）

|λ⃗a|=|λ|⋅|⃗a|

；

（Ⅱ）当

λ>0

时，λ

⃗a

的方向与

⃗a

的方向相同；当

λ<0

时，λ

⃗a

的方向与

⃗a

的方向相反；

当

λ=0

时，

λ⃗a=⃗

，方向是任意的

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②数乘向量满足交换律、结合律与分配律

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5、两个向量共线定理：向量

⃗

与非零向量

⃗a

共线

⇔

有且只有一个实数

，使得

⃗

λ⃗a

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6、平面向量的基本定理：

如果

⃗e1,⃗e2

是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量

⃗a

，有且只有一

对实数

λ1, λ2

使：

⃗a=λ1⃗e1+λ2⃗e2

其中不共线的向量

⃗e1,⃗e2

叫做表示这一平面内所有向量的一组

基底

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7、两个向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为

，则 · =︱︱·︱︱

cos

叫做与的数量积（或内积）规定

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8、向量的模与平方的关系：

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；

9、平面向量数量积的运算律：

① 交换律成立： ②对实数的结合律成立：

③ 分配律成立：特别注意：（1）结合律不成立：

；（2）消去律不成立不能得到

（3） =0 不能得到 = 或 =

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10 、两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量，则 · =

11、向量的夹角：已知两个非零向量与，作 = , = ,则∠AOB=

（

00≤θ≤1800

）叫做向量与的夹角

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cos

= =

x1x2+y1y2

√

x12+y12

⋅

√

x22+y22

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当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=00，当且仅当与反方向时 θ=1800，同时与

其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题

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12、垂直：如果与的夹角为 900则称与垂直，记作 ⊥

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13、两个非零向量垂直的充要条件

：

⃗a

⊥

⃗

⇔

⃗a

⃗

＝O

⇔

x1x2+y1y2=0

14 、两个向量平行的充要条件是：有且只有一个非零实数 λ，使 =λ ，

⃗

题型一、平面向量的相关概念

【例 1－1】下列命题：（1）若，则。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起

点相同，终点相同。（3）若，则是平行四边形。（4）若是平行四边

形，则。（5）若，则。（6）若，则。其中正确的是_

______（答：（4）（5））

【例 1－2】（多选）已知向量，是同一平面内的两个向量，则下列结论正确的是

A．若存在实数，使得，则与共线

B．若与共线，则存在实数，使得

C．若与不共线，则对平面内的任一向量，均存在实数，，使得

D．若对平面内的任一向量，均存在实数，，使得，则与不共线

【答案】

【解析】选项 B中，若向量，中有且仅有一个是，则不存在实数，使得，故 B

错误，其他选项表述正确，选 ACD．

【变式 1－1】判断下列各命题是否正确,并说明理由:

(1)单位向量都相等；

(2)两相等向量若起点相同,则终点也相同

(3)若,则；

(4)由于零向量方向不确定,故它不能与任意向量平行

【答案】

(1) 错；模相等,方向未必相同；

(2) 错；模相等,方向未必相同；

(3) 正确；因两向量的模相等,方向相同,故当他们的起点相同时,则终点必重合；

0//

1221

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