高中数学第17讲 简单的数列与不等式证明（原卷版）
第17 讲 简单的数列与不等式证明
一．解答题（共 11 小题）
1．设各项均为正数的数列 的前 项和为 ，且 满足 ， ．
（1）求 的值；
（2）求数列 的通项公式；
（3）证明：对一切正整数 ，有 ．
2．已知数列 前 项的乘积，满足 ．
（1）求 ；
（2）证明数列 为等差数列，并求出 ；
（3）记 ，设 ，求证： ．
3．在 平面上有一系列点 ， ， ， ， ， ， ， ，对每个正整数 ，以点
为圆心的 与 轴及射线 ， 都相切，且 与 彼此外切．若 ，且
．
（1）求证：数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
（2）设数列 的各项为正，且满足 ，
求证： ，
1
（3）对于（2）中的数列 ，当 时，求证：
．
4．设数列 的前 项的和 ， ，2，3， ．
（Ⅰ）求首项 与通项 ；
（Ⅱ）设 ， ，2，3， ．证明： ．
5． 设 数 列 为 等 差 数 列 ， 且 ， ， 数 列 的 前 项 和 为 ， 且
，
（Ⅰ）求数列 ， 的通项公式；
（Ⅱ）若 ， ，2，3， ， 为数列 的前 项和．求证： ．
6．已知数列 中， ， ，且 ，3，4， ． 为数列 的前 项和，且
， ，2，3， ．
2
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