高中数学第17讲 简单的数列与不等式证明（解析版）
第17 讲 简单的数列与不等式证明
一．解答题（共 11 小题）
1．设各项均为正数的数列 的前 项和为 ，且 满足 ， ．
（1）求 的值；
（2）求数列 的通项公式；
（3）证明：对一切正整数 ，有 ．
【解析】解：（1）当 时， ，解得： 或 ，
数列 为正数，
（2分）
（2） ，
即 ，
，
，
当 时， ，
两式相减得： ，
当 ，满足 ，
（8分）
（3）证明： ，
1
．
． （14 分）
2．已知数列 前 项的乘积，满足 ．
（1）求 ；
（2）证明数列 为等差数列，并求出 ；
（3）记 ，设 ，求证： ．
【解析】解（1）易知 ， （2分）
（2） ，
由两式相除可得： ，即 ，即 ．
所以数列 为等差数列 （6分）
，
故 ． （7分）
（3）由（1）得 ．
，
2
，
．
所以 ． （12 分）
3．在 平面上有一系列点 ， ， ， ， ， ， ， ，对每个正整数 ，以点
为 圆 心 的 与 轴 及 射 线 ， 都 相 切 ， 且 与 彼 此 外 切 ． 若 ， 且
．
（1）求证：数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
（2）设数列 的各项为正，且满足 ，
求证： ，
（3）对于（2）中的数列 ，当 时，求证：
．
3
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