高中数学第16讲 存在性问题（整除问题）（原卷版）
第16 讲 存在性问题（整除问题）
一．选择题（共 1小题）
1． 已 知 数 列 满 足 ， 若 从 中 提 取 一 个 公 比 为 的 等 比 数 列 ， 其 中 且
， ，则满足条件的最小 的值为
A．B．C．D．2
二．解答题（共 15 小题）
2．设公比为正数的等比数列 的前 项和为 ，已知 ， ，数列 满足 ．
（Ⅰ）求数列 和 的通项公式；
（Ⅱ）求正整数 的值，使得 是数列 中的项．
3．已知 是递增数列，其前 项和为 ， ，且 ．
（1）求数列 的通项 ；
（2）是否存在 ， ， ，使得 成立？若存在，写出一组符合条件的 ， ， 的值；
若不存在，请说明理由；
（3）设 ，若对于任意的 ，不等式 恒成立，求正
整数 的最大值．
4．已知等差数列 中，首项 ，公差 为整数，且满足 ． ，数列 满足
，其前 项和为 ．
1
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若 ， ， 成等比数列，求 的值．
5．已知等差数列 满足： ，且 ， ， 成等比数列．
（Ⅰ）求数列 的通项公式．
（Ⅱ）记 为数列 的前项 和，是否存在正整数 ，使得 ？若存在，求 的最小值；若
不存在，说明理由．
6．已知等差数列 的前 项和为 ，且满足 ， ．
求数列 的通项公式；
若 ， ， 成等比数列，求正整数 的值．
7．已知等差数列 的前 项和为 ，且满足 ， ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式 及 ；
（Ⅱ）若 ， ， 成等比数列，求 的最小值．
8．已知数列 是各项均不为 0的等差数列， 为其前 项和，且满足 ，令 ，数列
的前 项和为 ．
（1）求数列 的通项公式及数列 的前 项和为 ；
（2）是否存在正整数 ， ，使得 ， ， 成等比数列？若存在，求出所有的 ， 的值；
若不存在，请说明理由．
2
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