高中数学第16讲 存在性问题（整除问题）（解析版）

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第16 讲 存在性问题（整除问题）
一．选择题（共 1小题）
1．已知数列 满足 ，若从 中提取一个公比为 的等比数列 ，其中 且
， ，则满足条件的最小 的值为 　　
A．B．C．D．2
【解析】解： 数列 满足 ，
， ， ， ，
， ， ， ，
若取 ，则 ，不在数列 中；
若取 ，则 ，不在数列 中；
若取 ，则 ，在数列 中．
综上，满足条件的最小的 的值为 2．
故选： ．
二．解答题（共 15 小题）
2．设公比为正数的等比数列 的前 项和为 ，已知 ， ，数列 满足 ．
（Ⅰ）求数列 和 的通项公式；
（Ⅱ）求正整数 的值，使得 是数列 中的项．
【解析】解：（Ⅰ）设 的公比为 ，则有 ，解得 ，或 （舍 ．
1
则 ， ， （4分）
． （6分）
即数列 和 的通项公式为 ， ．
（Ⅱ） ，令 ，
所以 ， （10 分）
如果 是数列 中的项，设为第 项，则有 ，
那么 为小于等于 5的整数，
所以 ， ，1， ．当 或 时， ，不合题意；
当 或 时， ，符合题意．
所以，当 或 时，即 或 时， 是数列 中的项． （14 分）
3．已知 是递增数列，其前 项和为 ， ，且 ．
（1）求数列 的通项 ；
（2）是否存在 ， ， ，使得 成立？若存在，写出一组符合条件的 ， ， 的值；
若不存在，请说明理由；
（3）设 ，若对于任意的 ，不等式 恒成立，求正
整数 的最大值．
2
【解析】解：（1） ，得 ，解得 或 ．
由于 ，所以 ．
因为 ，所以 ．
故 ．
整理，得 ，即 ．
因为 是递增数列，且 ，故 ，因此 ．
则数列 是以 2为首项， 为公差的等差数列．
所以 ．
（2）满足条件的正整数 ， ， 不存在，证明如下：
假设存在 ， ， ，使得 ，
则 ．
整理，得 ，①
显然，左边为整数，所以①式不成立．
故满足条件的正整数 ， ， 不存在．
（3） ，
不 等 式 可 转 化 为
．
设 ，
3
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