高中数学第9讲 数列的通项与求和综合（解析版）
第9讲 数列的通项与求和综合
一．填空题（共 1小题）
1．已知数列 的通项公式是 ，数列 的通项公式是 ，令集合 ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ．将集合 中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为
．则数列 的前 28 项的和 820 ．
【解析】解：两集合中无公共项， 的前 28 项由 中的前 7项及 中的前 21 项构成．
所以 ．
二．解答题（共 17 小题）
2．已知数列 满足 ， ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）令 ，数列 的前 项和为 ，求证： ．
【解析】（Ⅰ）解：由题意，当 时， ，解得 ，
当 时，由 ，可得
，
两式相减，可得
，
整理，得 ，
1
当 时， 也满足上式，
， ．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ），知
，
，
，
，即 ．
3．已知数列 满足 ．
（1）求
（2）求数列 的前 项和
（3）已知 是公比 大于 1的等比数列，且 ， ，设 ，若 是递减数列，
求实数 的取值范围
【解析】解：（1）数列 满足 ．
当 时， ．
当 时， ，
，
2
，
故： （首项符合通项），
故： ．
（2）由于 ，
所以： ，
故： ，
，
，
（3）已知 是公比 大于 1的等比数列，且 ， ，
所以： ．
所以： ．
，
由于 是递减数列，
故： ，
即： ，
化简得： ，
3
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