高中数学第8讲 三角形最值问题之结合均值定理（解析版）

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第8讲 三角形最值问题之结合均值定理
1．（2021•黄冈模拟）已知在 中， ， ， ， 是线段 上的点，则 到
， 的距离的乘积的最大值为 　　
A．3 B．2 C．D．9
【解析】解：以 和 建立直角坐标系， ， ，即 ， ．
可得 直线方程为： ．
是线段 上的点，设 ， 到 ， 的距离的乘积的最大值即为 的最大值．
即 ，当且仅当 是取等号．
到 ， 的距离的乘积的最大值为 3．
故选： ．
2．（2020 秋•中原区校级期中）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
若 的面积为 ，则 的最小值为 　　
A．56 B．48 C．36 D．28
【解析】解：由正弦定理，有 ，又 ，
可得： ，
1
由 ，得 ，
则 ，即 ，
又 ， ，得 ，
因为 ，得 ，
则 的面积为 ，即 ，
由余弦定理，得 ，化简，得 ，
由于： ，当仅当 时取等号，
可得： ，即 ，故 的最小值是 48．
故选： ．
3．（2021• 河南模拟）已知 的外接圆半径为 ，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若
，则 面积的最大值为 　　
A．B．C．D．
【解析】解： ，
，可得 ，
可得： ，
，
，且 时，面积 面积的最大值为
2
故选： ．
4． （ 2021• 成都模拟） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
， 的外接圆半径为 ，则 面积的最大值为 　　
A．B．C．D．
【解析】解： 的外接圆半径为 ，
由正弦定理，可得 ， ，
代入已知等式得 ，
即 ，
，
由此可得 ，
结合 ，得 ．
，
（当且仅当 时，取等号），
面积为 ，
当且仅当 时， 的面积的最大值为 ．
故选： ．
5．（2020 春•资阳期末）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，且
的外接圆半径为 2，则 的面积的最大值为 　　
3
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