高中数学第7讲 三角形最值问题之一般最值（解析版）

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第7讲 三角形最值问题之一般最值
1．（2021•淄博模拟）已知锐角三角形的边长分别为 2、3、x，则 x的取值范围是（　　）
A．
√
5＜x＜
√
13
B．
√
13 ＜
x＜5 C．2＜x
＜
√
5
D．
√
5＜
x＜5
【解析】解：因为三角形为锐角三角形，所以三角形的三个内角都为锐角，
则设 3对的锐角为 α，根据余弦定理得：cosα
¿22+x2−32
4x＞
0，
即x2＞5，解得 x
＞
√
5
或x
＜−
√
5
（舍去）；
设x对的锐角为 β，根据余弦定理得：cosβ
¿22+32− x2
12 ＞
0，
即x2＜13，解得 0＜x
＜
√
13
，
所以 x的取值范围是
√
5＜
x
．
故选：A．
2．（2021•清远期末）在△ABC 中，sinA：sinB：sinC＝2：3：x，且△ABC 为锐角三角形，则 x的取值范
围是（　　）
A．
√
5＜x＜
√
13
B．
√
13 ＜
x＜5 C．2＜x
＜
√
5
D．
√
5＜
x＜5
【解析】解：由正弦定理可知，a：b：c＝sinA：sinB：sinC＝2：3：x，
即：a：b：c＝2：3：x
①、若 b是此三角形中的最大边，则：
1＜x＜3；
cos∴B
¿a2+c2− b2
2ac ＞
0，则：x
＞
√
5
．
从而此时，有：
√
5＜x＜3
．
②、若 c是此三角形中的最大边，则：
x≥3
cos∴C
¿a2+b2−c2
2ab ＞0
，得：
x＜
√
13
．
从而此时，有：3
≤ x ＜
√
13
．
综上 x的取值范围是
√
5＜x＜
√
13
．
故选：A．
3．（2021•芜湖期末）已知钝角三角形的三边长分别为 2，3，x，则 x的取值范围是（　　）
A．1＜x＜5 B．
√
5＜
x
＜
√
13
1
C．1＜x
＜
√
5
或
√
13 ＜
x＜5 D．1＜x
＜
√
5
【解析】解：当 x为最大边时，
{
3＜x＜5
x2＞32+22
，∴
√
13 ＜
x＜5；
当3为最大边时，
{
1＜x＜3
32＞x2+22
，∴1＜x
＜
√
5
．
∴x的取值范围是：1＜x
＜
√
5
或
√
13 ＜
x＜5．
4．（2020 秋•天山区校级期末）在△ABC 中，
a=7，b=8，cosC=13
14
，则最大角的余弦值是（　　）
A．
1
7
B．
−1
7
C．
2
3
D．
−2
3
【解析】解：∵
a=7，b=8，cosC=13
14
，
则
cosC =a2+b2− c2
2ab =13
14
，
∴c＝3；
故角 B为最大角，
cosB
¿a2+c2− b2
2ac =72+32−82
2×7×3=−1
7
故选：B．
5．（2020 秋•梅县校级期中）在△ABC 中，若 a＝7，b＝8，c＝3，则最大角的余弦是（　　）
A．
−1
5
B．
−1
6
C．
−1
7
D．
−1
8
【解析】解：∵a＝7，b＝8，c＝3，
∴b为最大边，得∠B是最大角
由余弦定理，得 cosB
¿a2+c2− b2
2ac =49+9−64
2×7×3=−1
7
．
即最大角的余弦值等于
−1
7
．
故选：C．
6．（2021•浦东新区校级月考）在边长为
√
3
3
的正三角形 ABC 的边 AB、AC 上分别取 M、N两点，沿线段
MN 折叠三角形，使顶点 A正好落在边 BC 上，则 AM 的长度的最小值为（　　）
2
A．
1
4
B．
1
3
C．2
−
√
3
D．
√
3−
√
3
2
【解析】解：显然 A，P两点关于折线 MN 对称，
连接 MP，图（2）中，可得 AM＝PM，则有∠BAP＝∠APM，
设∠BAP＝θ，∠BMP＝∠BAP+∠APM＝2θ，
再设 AM＝MP＝x，则有 MB
¿
√
3
3
−
x，
在△ABC 中，∠APB＝180°﹣∠ABP﹣∠BAP＝120°﹣θ，
∴∠BPM＝120° 2﹣θ，
又∠MBP＝60°，
在△BMP 中，由正弦定理知
BM
sin ∠BPM =MP
sin ∠MBP
，
即
√
3
3
− x
sin (120 ° − 2θ)=x
sin 60 °
，
∴x
¿
1
2
√
3
2+sin (120 ° − 2θ)
，
0°≤∵θ≤60°，
0°≤120° 2∴﹣θ≤120°，
∴当120° 2﹣θ＝90°，即 θ＝15°时，sin（120° 2﹣θ）＝1．
此时 x取得最小值
1
2
√
3
2+1
=1
2+
√
3=¿
2
−
√
3
，且∠AME＝75°．
则AM 的最小值为 2
−
√
3
．
故选：C．
3
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