高中数学第6讲 五心问题（奔驰定理）（解析版）

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第6讲 五心问题（奔驰定理）
一．选择题（共 11 小题）
1．已知 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ， 为 内一点，若分别
满足下列四个条件：
①
②
③
④
则点 分别为 的 　　
A．外心、内心、垂心、重心 B．内心、外心、垂心、重心
C．垂心、内心、重心、外心 D．内心、垂心、外心、重心
【解析】解：先考虑直角三角形 ，可令 ， ， ，
可得 ， ， ，设 ，
①，即为 ， ， ， ， ，
即有 ， ，解得 ，
即有 到 ， 轴的距离为 1， 在角 的平分线上，且到 的距离也为 1，
则 为 的内心；
③，
即为 ， ， ， ， ，
可得 ， ，解得 ， ，
由 ，故 为 的外心；
④，可得 ， ， ， ， ，
1
即为 ， ，解得 ， ，
由 的中点 为 ， ， ，即 分中线 比为 ，
故 为 的重心；
考虑等腰三角形 ，底角为 ，
设 ， ， ， ，
②，
即为 ， ， ， ， ，
可得 ， ，解得 ， ，
即 ，由 ， ，即有 ，
故 为 的垂心．
故选： ．
2．已知 ， ， 在所在 的平面内，且 ，且
，则 ， ， 分别是 的 　　
2
A．重心 外心 垂心 B．重心 外心 内心
C．外心 重心 垂心 D．外心 重心 内心
【解析】解：因为且 ，所以 0到顶点 ， ， 的距离相等，所以 为 的外心．
由 得 ，即 ，所以 ．
同理可证 ，所以 为 的垂心．
若 ，则 ，取 的中点 ，则 ，所以 ，
所以 是 的重心．
故选： ．
3．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的
距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点 ，
分别是 的外心、垂心，且 为 中点，则 　　
A．B．
C．D．
【解析】解：如图所示的 ，其中角 为直角，则垂心 与 重合，
3
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