高中数学第4讲 分组求和（解析版）
第4讲 分组求和
一．填空题（共 1小题）
1．数列 1，1，2，3，5，8，13，21， 最初是由意大利数学家斐波拉契于 1202 年研究兔子繁殖问题中提
出来的，称之为斐波拉契数列．又称黄金分割数列．后来发现很多自然现象都符合这个数列的规律．某
校数学兴
趣小组对该数列探究后，类比该数列各项产生的办法，得到数列 ，2，1，6，9，10，17， ，设数
列 的前 项和为 ．
（1）请计算 ， ， ．并依此规律求数列 的第 项
．
（2） ．（请用关于 的多项式表示，其中
【解析】解：（1）由题意得 ， ， ， ， ， ， ，
计算： ， ， ，
可归纳得数列 满足的递推关系式为 ，
由 ， ，
两式相减得 ．
可得 ．
（2）由
可得
1
，
由 得 ： ， ， ， ，
，
．
故答案为：22， ．
二．解答题（共 12 小题）
2．求数列的前 项和： ．
【解析】解：设
将其每一项拆开再重新组合得
当 时，
当 时，
3．数列 中， ， 为抛物线 与直线 的交点，过 作
抛物线的切线交直线 于点 ，记 的纵坐标为 ．
（Ⅰ）求 ， 的通项公式；
2
（Ⅱ）求数列 的前 项和 ．（附
【解析】解：（Ⅰ） ，由 易得 ， ，
， ，
故 ，经检验 时也符合，
故 的通项公式为 ．
对 两边取导数，可得 ，
， 处切线斜率为 ，切线方程为 ，
与 的交点的纵坐标为 ，
故 的通项公式为 ．
（Ⅱ）
．
4．已知数列 满足 ， ．
（1）求证：数列 为等比数列：
（2）求数列 的前 项和 ．
3
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