高一数学新教材知识讲学(人教A版必修第一册) 专题13 第四章 复习与检测（知识精讲）（解析版）

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专题十三 第四章 复习与检测 知识精讲
一 知识结构图
内 容 考点 关注点
第四章
指数、对数的运算 幂、对数的运算性质
指数函数的应用 指数函数的图象与性质
对数函数的应用 对数函数的图象与性质
函数的应用 指数函数、对数函数的性质
二.学法指导
1.指数、对数的运算应遵循的原则
指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其
次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先注意公式应用过程中
范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计
算、化简、证明常用的技巧.
2.识别函数的图象从以下几个方面入手：
(1)单调性：函数图象的变化趋势；
(2)奇偶性：函数图象的对称性；
(3)特殊点对应的函数值．
3．指数函数与对数函数图象经过定点的实质是 a0＝1，loga1＝0.
4.比较两数大小常用的方法有单调性法、图象法、中间值法等．
5．当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然
后利用该函数的单调性比较．
6．比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后在各部分内再利用函数性质比较大小．
7.换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题．该类问题中，常设 u＝logax或u＝ax，转
化为一元二次方程、二次函数等问题．要注意换元后 u的取值范围。
8.指数函数模型的应用
1
在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示.
通常可以表示为 y＝N1＋px其中 N为基础数，p为增长率，x为时间的形式.
三.知识点贯通
知识点 1 指数与对数的运算
1.正分数指数幂：规定：a＝(a>0，m，n∈N*，且 n>1)
2.负分数指数幂：规定：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且 n>1)
3.幂的运算性质
(1)aras＝a r
＋
s
(a>0，r，s∈R)．
(2)(ar)s＝a rs
(a>0，r，s∈R)．
(3)(ab)r＝a r
b r
(a>0，b>0，r∈R)．
4、对数的运算性质
如果 a>0，且 a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(MN)＝logaM ＋ log aN；
(2)loga＝logaM － log aN；
(3)logaMn＝n log aM(n∈R)．
例1.计算：(1)2log32－log3＋log38－5
log53；
(2)1.5－×
0＋80.25×＋(×)6－.
【解析】　(1)原式＝log3－3＝2－3＝－1.
(2)原式＝＋2×2＋22×33－＝21＋4×27＝110.
知识点二 指数函数、对数函数的图象及应用
1.指数函数的性质
a的范围 a＞1 0＜a＜1
2
图象
性
质
定义域 R
值域 (0 ，＋∞ )
过定点 (0,1)，即当 x＝0时，y＝1
单调性 在R上是增函数 在 R上是减函数
奇偶性 非奇非偶函数
对称性 函数 y＝ax与y＝a－x的图象关于 y
轴 对称
2.对数函数的图象与性质
a的范围 0<a<1 a>1
图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
性
质
定点 (1,0)，即 x＝1
时，y＝0
单调性 在(0，＋∞)上是减函数 在(0，＋∞)上是增函数
例题 2：(1)若函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象如图所示，则下列函数正确的是(　　)
3
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