高一数学新教材知识讲学(人教A版必修第一册) 专题11 指数函数与对数函数（知识精讲）（解析版）

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专题十一指数函数与对数函数知识精讲

一知识结构图

内容考点关注点

指数函数与对数函数

幂的运算底数相同

指数函数的图象与性质

图象过定点，单调性与底数与

1的大小有关。

对数的运算底数相同

对数函数的图象与性质图象过定点，真数大于 0；单

调性与底数与 1的大小有关。

二.学法指导

1.正确区分与()n：

(1)()n已暗含了有意义，据 n的奇偶性可知 a的范围；

(2)中的 a可以是全体实数，的值取决于 n的奇偶性．

2. 带条件根式的化简

1有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化

简.

2有条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被

开方数或被开方的表达式的正负.

3．指数幂运算的常用技巧

（1）有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.

（2）负指数幂化为正指数幂的倒数.

（3）底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形

式表示，便于用指数幂的运算性质.

4.判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住三点：

(1)底数是大于 0且不等于 1的常数；

(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；

(3)ax的系数必须为 1.

5．求指数函数的解析式常用待定系数法．

6.利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式．

7．解不等式 af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，

若底数不确定，就需进行分类讨论，即 af(x)>ag(x)⇔

8.性质 a

logaN＝N与logaab＝b的作用

(1)a

logaN＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以 a为底的指数形式．

(2)logaab＝b的作用在于能把以 a为底的指数转化为一个实数．

9.利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，底数不同时，利用换底公式把底

数换成相同，再找真数间的联系．

10.比较对数值大小的常用方法

1同底数的利用对数函数的单调性.

2同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.

3底数和真数都不同，找中间量.

11.常见的对数不等式的三种类型

1形如 logax＞logab的不等式，借助 y＝logax的单调性求解，如果 a的取值不确定，需分 a＞1

与0＜a＜1两种情况讨论；

2形如 logax＞b的不等式，应将 b化为以 a为底数的对数式的形式，再借助 y＝logax的单调性

求解；

3形如 logax＞logbx的不等式，可利用图象求解.

12.已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义

域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系．

13．求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解．

三.知识点贯通

知识点 1 根式运算

√

a)n=a

；

√

an=|a|=

{

a , a≥0

−a.a<0

例题 1.(1)若x<0，则 x＋|x|＋＝________.

(2)若－3<x<3，求－的值．

【答案】(1)－1　(2)

【解析】(1)∵x<0，∴|x|＝－x，＝|x|＝－x，

∴x＋|x|＋＝x－x－1＝－1.]

(2)　－＝－＝|x－1|－|x＋3|，

当－3<x≤1 时，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2.

当1<x<3 时，原式＝x－1－(x＋3)＝－4.

因此，原式＝

知识点二利用分数指数幂的运算性质化简求解

1.正分数指数幂：规定：a＝(a>0，m，n∈N*，且 n>1)

2.负分数指数幂：规定：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且 n>1)

3.幂的运算性质

(1)aras＝a r

＋

(a>0，r，s∈R)．

(2)(ar)s＝a rs

(a>0，r，s∈R)．

(3)(ab)r＝a r

b r

(a>0，b>0，r∈R)．

例题 2：化简求值：

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