高一数学新教材知识讲学(人教A版必修第一册) 专题09 幂函数、函数的应用（知识精讲）（解析版）

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专题九幂函数、函数的应用知识精讲

一知识结构图

内容考点关注点

幂函数、函数的应用

幂函数的概念自变量的位置

幂函数的性质指数的范围

幂函数的图象指数的范围

函数的应用确定函数的模型

二.学法指导

1.判断一个函数是否为幂函数的方法

判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 y＝xα（α为常数）的形式，即函数的解析式为

一个幂的形式，且需满足：1指数为常数；2底数为自变量；3系数为 1.

2. 解决幂函数图象问题应把握的两个原则

（1）依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在0，1上，指数越大，幂函数图象越靠近

x轴（简记为指大图低）；在1，＋∞上，指数越大，幂函数图象越远离 x轴（简记为指大图高）.

（2）依据图象确定幂指数 α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象（类似于

y＝x－1或y＝x或y＝x3来判断.

3．比较幂的大小时若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则

考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”.

4.（1）．一次函数模型的实际应用

一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．

（2）．一次函数的最值求解

一次函数求最值，常转化为求解不等式 ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数 a的正负，也可以

结合函数图象或其单调性来求最值．

5.二次函数模型的解析式为 gx＝ax2＋bx＋ca≠0.在函数建模中，它占有重要的地位.在根据实际问

题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，

从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答.

6（1）．分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．

（2）．分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．

（3）．分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．

三.知识点贯通

知识点 1 幂函数的概念

一般地，函数 y＝xα叫做幂函数，其中 x是自变量，α是常数．

例1.　已知 y＝(m2＋2m－2)xm2－1＋2n－3是幂函数，求 m，n的值．

【解析】　由题意得解得所以 m＝－3，n＝.

知识点二幂函数的图象及应用

1.在同一平面直角坐标系中，画出幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图所示：

例题 2：点(，2)与点分别在幂函数 f(x)，g(x)的图象上，问当 x为何值时，有：

(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)．

【解析】设 f(x)＝xα，g(x)＝xβ.

∵()α＝2，(－2)β＝－，

∴α＝2，β＝－1，

∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，

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