高一数学新教材知识讲学(人教A版必修第一册) 专题07 函数的概念及表示（知识精讲）（解析版）

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专题七函数的概念及表示知识精讲

一知识结构图

内容考点关注点

函数概念及其表示

函数的概念函数的定义及三要素

函数的定义域使解析式有意义

函数的解析式定义域

分段函数自变量的取值范围

二.学法指导

1．判断对应关系是否为函数的 2个条件

(1)A，B必须是非空实数集．

(2)A中任意一元素在 B中有且只有一个元素与之对应．

对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．

2．判断函数相等的方法

(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；

(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．

3．函数求值的方法

（1）已知 fx的表达式时，只需用 a替换表达式中的 x即得 fa的值.

（2）求 fga的值应遵循由里往外的原则.

4.对于用关系式表示的函数．如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有

意义的自变量取值的集合．这也是求某函数定义域的依据．

5.函数符号 y＝f(x)是学习的难点，它是抽象符号之一．首先明确符号“y＝f(x)”为y是x的函数，它

仅仅是函数符号，不是表示“y等于 f与x的乘积”.

6.作函数图象必须要让作出的图象反映出图象的伸展方向，与 x轴、y轴有无交点，图象有无对称

性，并标明特殊点．

7.求函数解析式的主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法 (消元法)，注意有的函

数要注明定义域.

8.分段函数求函数值的方法：

(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．

(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现 f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．

9．已知函数值求字母取值的步骤：

(1)先对字母的取值范围分类讨论．

(2)然后代入不同的解析式中．

(3)通过解方程求出字母的值．

(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内

三.知识点贯通

知识点 1 函数的概念

1.定义一般地，设 A，B是非空的实数集，如果对于集合 A中的任意一个数

按照某种确定的对应

关系 f，在集合 B中都有唯一确定的数 y和它对应，那么就称 f：A→B为从集合 A到集合 B的一个

函数。

2.三要素：对应关系，定义域，值域。

例1.下列各组函数中是相等函数的是(　　)

A．y＝x＋1与y＝

B．y＝x2＋1与s＝t2＋1

C．y＝2x与y＝2x(x≥0)

D．y＝(x＋1)2与y＝x2

【答案】B　

【解析】A，C选项中两函数的定义域不同，D选项中两函数的对应关系不同，故

A，C，D错误，选 B.

知识点二函数的定义域

1.求函数定义域的常用方法：

1若fx是分式，则应考虑使分母不为零.

2若fx是偶次根式，则被开方数大于或等于零.

3若fx是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合.

4若fx是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集.

5若fx是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.

例题 2：求下列函数的定义域：

(1)f(x)＝2＋；

(2)f(x)＝(x－1)0＋；

(3)f(x)＝·；

(4)f(x)＝－.

【答案】(1){x|x≠2} (2){x|x>－1且x≠1} (3){x|1≤x≤3}

(4){x|x≤1 且x≠－1}

【解析】(1)当且仅当 x－2≠0，即 x≠2 时，函数 f(x)＝2＋有意义，

所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．

(2)函数有意义，当且仅当解得 x>－1且x≠1，

所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}．

(3)函数有意义，当且仅当解得 1≤x≤3，

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