高一数学新教材知识讲学(人教A版必修第一册) 专题06 第二章复习与检测（知识精讲）（原卷版）

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专题六第二章复习与检测知识精讲

一知识结构图

内容考点关注点

不等式的性质

基本不等式

一元二次不等式的解法

不等式的性质灵活运用

基本不等式一正二定三相等

解一元二次不等式二次函数开口方向、两根的大

小

不等式的恒成立求函数的最值

二.学法指导

1.不等式真假的判断，要依靠其适用范围和条件来确定，举反例是判断命题为假的一个好方法，用

特例法验证时要注意，适合的不一定对，不适合的一定错，故特例只能否定选择项。

2. 基本不等式的主要应用是求函数的最值或范围，既适用于一个变量的情况，也适用于两个变量的

情况.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能.解答此

类问题关键是创设应用不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的目的

在于使等号能够成立.

3．解一元二次不等式时，要注意数形结合，充分利用对应的二次函数图像、一元二次方程的解的

关系.如果含有参数，则需按一定的标准对参数进行分类讨论.

4.对于恒成立不等式求参数范围问题常见类型及解法有以下两种：

1变更主元法

根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元.

2转化法求参数范围

三.知识点贯通

知识点 1 不等式的性质

不等式的基本性质

(1)对称性：a＞b⇔b ＜ a .

(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a ＞ c .

(3)可加性：a＞b⇔a ＋ c ＞ b ＋ c .

(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac ＞ bc ；a＞b，c＜0⇒ac ＜ bc .

(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a ＋ c ＞ b ＋ d .

(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac ＞ bd .

(7)乘方法则：a＞b＞0⇒a n

＞ b n

＞ 0( n ∈ N ， n ≥2) ．

例1.如果 a，b，c满足 c＜b＜a且ac＜0，则以下列选项中不一定成立的是(　　)

A．ab＞ac　　 B．c(b－a)＞0

C．cb2＜ab2 D．ac(a－c)＜0

知识点二基本不等式

1.重要不等式

∀a，b∈R，有 a2＋b2≥2 ab ，当且仅当 a ＝ b

时，等号成立．

2.基本不等式

当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即≤，当且仅当 a ＝ b

时，

等号成立．

3.已知 x、y都是正数，

(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当 x＝y时，积 xy 取得最大值.

(2)若xy＝p(积为定值)，则当 x＝y时，和 x＋y取得最小值 2.

上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．

例题 2：设x<－1，求 y＝的最大值．

知识点三一元二次不等式的解法

1.三个“二次”的关系

设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程 ax2＋bx＋c＝0的判别式 Δ＝b2－4ac

判别式 Δ＞0Δ＝0Δ＜0

解不等

式y＞0

或y＜0

的步骤

求方程 y＝0的解有两个不相等的实数

根x1，x2(x1＜x2)

有两个相等的实数

根x1＝x2＝－

没有

实数根

函数 y＝ax2＋bx＋c(a

＞0)的图象

不等式解

集

y＞0 { x | x ＜ x 1_或

x ＞ x 2}R

y＜0 { x | x 1＜ x ＜ x 2}∅ ∅

例题 3 .解关于 x的不等式：x2＋(1－a)x－a＜0.

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