高一数学新教材知识讲学(人教A版必修第一册) 专题04 等式性质与不等式性质、基本不等式（知识精讲）（解析版）

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专题四等式性质与不等式性质、基本不等式知识精讲

一知识结构图

内容考点关注点

不等式的性质

基本不等式

不等式性质不等式两边同乘负数，不等号

改方向。

基本不等式求最值一正二定三相等

二.学法指导

1.作差法比较两个实数大小的基本步骤：作差、变形、定号、结论。

2. 运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意

捏造性质.解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：

一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.

3．利用不等式的性质证明不等式注意事项

1利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记

准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.

2应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳

步推导，更不能随意构造性质与法则.

4.求含字母的数（或式子）的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，

尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘不可除.

5.运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即 a＋b≥2 成立的条件是 a>0，b>0，等号成立的

条件是 a＝b；a2＋b2≥2ab 成立的条件是 a，b∈R，等号成立的条件是 a＝b.

三.知识点贯通

知识点 1 比较两数（式）的大小

a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b.

例1.已知 x≤1，比较 3x3与3x2－x＋1的大小．

【解析】　3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)

＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．

∵x≤1 得x－1≤0，而 3x2＋1＞0，

∴(3x2＋1)(x－1)≤0，

∴3x3≤3x2－x＋1.

知识点二利用不等式性质判断命题真假及不等式性质的应用

1.不等式的基本性质

(1)对称性：a＞b⇔b ＜ a .

(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a ＞ c .

(3)可加性：a＞b⇔a ＋ c ＞ b ＋ c .

(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac ＞ bc ；a＞b，c＜0⇒ac ＜ bc .

(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a ＋ c ＞ b ＋ d .

(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac ＞ bd .

(7)乘方法则：a＞b＞0⇒a n

＞ b n

＞ 0( n ∈ N ， n ≥2) ．

例题 2：对于实数 a，b，c下列命题中的真命题是(　　)

A．若 a＞b，则 ac2＞bc2

B．若 a＞b＞0，则＞

C．若 a＜b＜0，则＞

D．若 a＞b，＞，则 a＞0，b＜0

【答案】D

【解析】　法一：∵c2≥0，∴c＝0时，有 ac2＝bc2，故 A为假命题；

由a＞b＞0，有 ab＞0⇒＞⇒＞，故 B为假命题；

⇒＞，故 C为假命题；

ab＜0.∵a＞b，∴a＞0且b＜0，故 D为真命题．

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