高一数学新教材知识讲学(人教A版必修第一册) 专题04 等式性质与不等式性质、基本不等式（核心素养练习）（解析版）

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专题四等式性质与不等式性质、基本不等式核心素养练习

一、核心素养聚焦

考点一逻辑推理-利用不等式的性质证明不等式

例题 9.　若 a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞.

【证明】　∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.

又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.

两边同乘以，得＜.

又e＜0，∴＞.

考点二数学运算-利用基本不等式求条件最值

例题 10.已知 x＞0，y＞0，且满足＋＝1.求x＋2y的最小值．

【解析】∵x＞0，y＞0，＋＝1，

∴x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋≥10＋2＝18，

当且仅当即时，等号成立，

故当 x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18.

考点三数学建模素养-利用基本不等式解决实际问题

例题 11、如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用

钢筋网围成．现有 36 m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面

积最大？

【解析】设每间虎笼长 x m，宽 y m，

则由条件知，4x＋6y＝36，即 2x＋3y＝18.

设每间虎笼面积为 S，则 S＝xy.

法一：由于 2x＋3y≥2＝2，

所以 2≤18，得 xy≤，

即Smax＝，当且仅当 2x＝3y时，等号成立．

由解得

故每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3 m 时，可使每间虎笼面积最大．

法二：由 2x＋3y＝18，得 x＝9－y.

∵x>0，∴0<y<6，S＝xy＝y＝y(6－y)．

∵0<y<6，∴6－y>0.

∴S≤2＝.

当且仅当 6－y＝y，即 y＝3时，等号成立，此时 x＝4.5.

故每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3 m 时，可使每间虎笼面积最大．

二、学业质量测评

一、选择题

1．（2019·全国高一课时练习）若，则下列不等式成立的是（ )

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】特殊值法：令

作差法：，又均值不等式，所以

正确选项为 B

2．（2019·全国高一课时练习）已知实数，记，则

(　　)

A．B．C．D．大小不确定

【答案】B

【解析】作差比较，，所以

，

故选：

3．（2019·全国高一课时练习）已知正数满足，则的最小值是 (　　)

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】因为，所以，当且仅当时，

等号成立，所以的最小值为 .

故答案为：C.

4．（2019·全国高一课时练习）已知，则的最小值为

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

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